Page 84 - vol2

2. feladat: Hány darab olyan kétjegyű pozitív egész szám van, amely
osztható 5-tel, vagy 6-tal, esetleg mind a kettővel?
Megoldás: Összesen 99-9=90 kétjegyű szám van, ebből kiszámoljuk,
hogy hány 5-tel és 6-tal osztható kétjegyű szám van. Legyen
A= {10,15,…,95} az 5-tel osztható kétjegyű számok halmaza és
B= {12,18,24,…,96} a 6-tal osztható kétjegyű számok halmaza.
Tehát A B = {30,60,90} a 30-cal osztható kétjegyű számok halmaza.

90 90
Ekkor A = = 18 , B = = 15 (ki kellett vennünk az 5 és a 6
5 6
egyjegyű számokat), továbbá A B = 3. Az (1)-es szita-formula alapján
+
felírható, hogy A B = A + B − A B = 18 15 3 30.
=
−
Tehát 30 kétjegyű szám osztható 5-tel vagy 6-tal.
3. feladat: Hány darab olyan kétjegyű pozitív egész szám van, amely nem
osztható sem 5-tel, sem 6-tal?
Megoldás: Erre a kérdésre úgy is válaszolhatunk, hogy figyelembe
vesszük, hogy az előbbi feladat alapján 30 szám osztható 5-tel vagy 6-tal,
tehát 90-30=60 nem osztható egyikkel sem. Ellenben a feladat
megoldható a komplementer szita-formulával:
90 90
S − (A ) B = S − A − B + A B , ahol A = = 18 , B = = 15 ,
5 6
A B = 3, és a kétjegyű számok száma S = 90 .

−
−
+
Tehát S − (A ) B = 90 18 15 3 60.
=
4. feladat: Hányféle képpen alakíthatunk ki 6 betűs szavakat az a, e, m, o,
u, y betűkkel úgy, hogy ne tartalmazzák a me és you szavakat?
Megoldás: Legyenek S= az összes szó, A= a me-t tartalmazó szavak,
B= a you-t tartalmazó szavak. A szitaképlet:
S − (A ) B = S − A − B + A B . De S =6!, A =5! (mert „me, a, o,

u, y” száma 5), B =4! (mert „you, a, m, e” száma 4), A B =3! (mert a
„me, you, a” száma 3). Tehát a válasz:
720-120-24+6=582.
5. feladat: Az egyetemen 200-an tanulnak
angolt, 150-en spanyolt és 140-en franciát.
80-an angolt és franciát, 20-an angolt és
spanyolt, 10-en spanyolt és franciát, 5-en
pedig mindhárom nyelvet tanulják.
Hányan tanulnak összesen nyelvet?

84