Page 88 - vol2

fociznak, 16-an nem jégkorongoznak, 12-en pedig nem kosárlabdáznak.
Tudjuk még, hogy 10-en fociznak, de nem kosaraznak, 11-en pedig
kézilabdáznak, de ők sem kosaraznak. Hányan, és milyen összetételben
űznek két-két sportágat?
Megoldás: A feltevésből azt kapjuk,
hogy 24 – 9 = 15-en kézilabdáznak, 24
– 11 = 13-an fociznak, 24 – 16 = 8-an
jégkorongoznak, 24 – 12 = 12-en pedig
kosárlabdáznak. Mivel 15 + 13 + 8 +
12 = 48, és ez az összes tanulók
számának a 2-szerese, következik, hogy
mindenki pontosan két sportágban vesz
részt, mert senki sem szerepel 2-nél
több sportágban. Az ábrán látható
halmazok az egyes sportágakban szereplő tanulókat jelölik, a betűk pedig
a két-két sportágat űzők számát jelentik, a következőképpen:
a – kézilabda-foci; b – kézilabda-jégkorong; c – foci-jégkorong;
d – kézilabda-kosárlabda; e – jégkorong-kosárlabda; f – foci-kosárlabda.
+
a b d = 15 (1), a c+ + f = 13 (2), b c e+ + = (3), d e + f = 12 (4),
+
+
8
a c = 10 (5), a b = 11 (6). Az 1. és 6. egyenlőségből azt kapjuk, hogy d
+
+
= 4, a 2. és 5. alapján f = 3, a 4. alapján e = 5. De 12-en nem kosaraznak,
tehát a + b + c = 12, de a + c = 10  b = 2, a = 9 és c = 1.

12. feladat: Ha n = 2  3 5 , akkor határozzuk meg a ( )n -net, az
7
10
11
n-nél kisebb és n-nel relatív prím számoknak a számát.
Megoldás: Legyenek rendre
A = k  N k  , n k  2 , B = k  N k  , n k  3 , C = k  N k  , n k  5 .
n n n n n n
Tehát A = , B = , C = , A B = , B  C = , C  A =
2 3 5 6 15 10
n
és A  C = . A logikai szita alapján: ( )n = n − A  C =
B
B
30
= n − ( A + B + C ) ( A B + B  C + C  A ) − A  C =
+
B
n n n n n n n  1 1 1 1 1 1 1 
n − − − + + + − = n  1− − − + + + −  =
2 3 5 6 10 15 30  2 3 5 6 10 15 30 
 1  1  1 
= n  1−  1−  1−  .
 2  3  5 

88