Page 80 - vol2

9. A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

Ebben a paragrafusban a Venn-Euler diagramról, a logikai szitáról,
és a két témakör kapcsolatáról írunk, számos jellemző, megoldott
feladattal szemléltetve a leírtakat.
Az ábráknak nemcsak a geometriában van fontos szerepük, hanem a
legkülönbözőbb feladatok megoldásánál is segíthetik a kiindulási adatok
elrendezését, összefüggések felismerését, megkönnyíthetik a feltárt
összefüggések későbbi felidézését és ellenőrzését.
A matematika különböző területein már régóta használatosak az
úgynevezett Venn- és Venn-Euler-diagramok, a halmazok közötti
kapcsolatok, viszonyok tükrözésére, adott tulajdonsággal rendelkező
halmazok és azok számosságának (elemei számának) meghatározására,
valamint egyes állítások logikai értékének megállapítására, logikai
következtetések vizsgálatára (ezért is nevezik ezeket még
halmazábráknak is).
Egy Venn-diagramot körökkel, vagy más zárt görbékkel, vagy ennél
általánosabb alakzatokkal, például n egyszerű zárt görbével adunk meg a
síkon. Minden görbe belseje valamilyen halmazt ábrázol, a zárt görbén
kívül eső rész pedig annak komplementerét.
Az {A1, A2,..., An} görbecsaládot Venn-diagramnak nevezzük, ha a
n
görbék a síkot pontosan 2 diszjunkt tartományra bontják, és a
tartományok megegyeznek az összes lehetséges X1X2...Xk alakú
halmazzal, k{1, 2,..., n}, ahol minden Xi helyére az Ai egyszerű, zárt
görbe belsejét vagy külsejét írhatjuk, i{1, 2,..., n}.
A körvonalakról az egyszerű zárt görbékre történő általánosítás
okára nyomban rávilágít az alábbi észrevétel, mely már Venn 1880-as
dolgozatában megtalálható:
„Bármely diagramban legfeljebb három körvonal fordulhat elő.”
2
A bizonyítás lényege: n darab körvonal a síkot legfeljebb n – n + 2
részre osztja. Ezért a Venn-diagram értelmezése alapján következik:
n  3. Az n = 1, n = 2 és n = 3 eseteknek megfelelő diagramok a síkot
2
1
3
rendre 2 , 2 , 2 részre osztják, lásd a következő ábrákatat, ahol minden
esetben megjelöltük azt is, hogy a diagram hány részre osztja a sítot:

80