Page 83 - vol2

összefüggéseket másodrendű szita-formulának, vagy egyszerűen logikai
szitának hívjuk (a logikai szitára még használatos a bennfoglalás-kizárás
formula elnevezés is).
Hasonló összefüggést állapíthatunk meg három halmaz esetén is, ha
a három körös Ven-diagramot követjük. Ez alapján felírható, hogy
A  C = A + B + C − A B − B  C − C  A + A  C (2).
B
B
S
Az előbbiek mintájára, az , ,A B C  feltételek mellett levezethető a
következő összefüggés is:
S − (A  B  C ) = S − A − B − C + A  B + B  C + C  A − A  B  C (2’).

A (2) és a (2’) képezik a harmadrendű szita-formulákat. Természetesen a
szita-formula érvényes marad háromnál több tag esetén is. Ennek az
általános alakja:
n n n
i 
−
+
A = A −  A  A +  A  A  A + ... ( 1) n A (3) és
j
k
i
i
j
i
i




i= 1 i= 1 1 j j n 1 j j k n i = 1



továbbá
( ) n n+ 1 n
n
S − A i = S −  A +  A  A j −  A  A  A k + ... + ( 1) A i
−
j
i
i
i







i = 1 i= 1 1 j j n 1 j j k n i = 1
(3’).
A (3) és a (3’) n-ed rendű szita-formulákat a matematikai indukcióval is
bizonyíthatjuk.
A továbbiakban olyan alkalmazásokat mutatunk be, amelyeknek a
megoldása Ven-Euler diagrammal és a szita-formulával egyaránt
elvégezhetők, de mutatunk be olyan feladatokat is, amelyeknél az egyik
vagy a másik módszer előnyösebb.

1. feladat: E Eg gy y f fa ag gy yi is sn ná ál l k ké ét tf fé él le e f fa ag gy yi ib bó ól l l le eh he et t v vá ál la as sz zt ta an ni i: : c cs so ok ki i é és s
v va an ní íl li ia a. . 1 11 1- -e en n á ál ll ln na ak k s so or rb ba an n a a f fa ag gy yi is sn ná ál l 5 5- -e en n
k ké ér rt te ek k c cs so ok ki is s f fa ag gy yi it t. . V Va an ní íl li iá át t 3 3- -m ma al l t tö öb bb be en n
k ké ér rt te ek k m mi in nt t c cs sa ak k c cs so ok ki is st t. . H Há án ny ya an n k ké ér rt te ek k
c cs so ok ki is s é és s v va an ní íl li iá ás s f fa ag gy yi it t i is s? ?
M Me eg go ol ld dá ás s: : J Je el lö öl lj je e C Cs s i il ll le et tv ve e V V a az zo ok k
h ha al lm ma az zá át t a ak ki ik k c cs so ok ki is s i il ll le et tv ve e v va an ní íl li iá ás s f fa ag gy yi it t

Cs V =
v vá ás sá ár ro ol lt ta ak k. . K Ké és sz zí ít ts sü ük k e el l a a m me el ll lé ék ke el lt t á áb br rá án n
x
−
−
l lá át th ha at tó ó V Ve en n- -E Eu ul le er r d di ia ag gr ra am mo ot t. . J Je el lö öl lj je e akkor Cs V = 5 x és
V Cs = 8 x , ezért az (5-x)+x+(8-x)=11 egyenletből x=2.
−
−
83