Page 79 - vol2

 n− 1 (2k + 1) 
D = − r cos   cos =
n k= 0 n

   n − 1 2k  n − 1 2k 
= r − cos  cos   cos − sin   sin  = 0 és
n  n k= 0 n n k= 0 n 
 n− 1 (2k + 1) 
E = − r cos   sin =
n k= 0 n
   n − 1 2k  n − 1 2k 
= r − cos  cos   sin + sin   cos  = 0 valamint
n  n k= 0 n n k= 0 n 

n−
1
2
2
F = r   cos 2  = n r  cos 2  . Tehát az (a), (b), (c) eredmények

k= 0 n n
 k 2  
2
2
alapján a (3) alatti egyenlet x + y = 2  − r  cos 2  lesz, ami egy
2
 n n 
olyan O(0,0) középpontú kör egyenlete, amelynek a sugara
 k 2  
R = 2  − r  cos 2  . Belátható, hogy az n=3 esetben visszakapjuk
2
n
 n n 
2 r 2
az R = k − 2 , más megkapott sugarat.
3
3 2
A bemutatott analóg illetve általánosított eredmények további
bővítése céljából arra is gondolhatunk, hogy ez érvényes marad-e a
térbeli szabályos testek esetén is? Erre a válasz azért nem olyan egyszerű,
mert amíg a síkban létezik tetszőleges oldalszámú n-oldalú szabályos
sokszög, úgy a térben, a szabályos testek száma csak a tetrtaéder,
hexaéder (kocka), oktaéder, dodekaéder és az ikozaéder testekre
szorítkozik. A szabályos tetraéderre az analóg eredményt már
bizonyíthattuk, és hasonlóan könnyűszerrel bizonyítható a kocka esetén
is, ám a másik három szabályos test esetén a számolások már jóval
bonyolultabbak, ezért ezektől, a jelen dolgozatban eltekintünk.

79