Page 89 - vol2

Megjegyzés: Észrevehető, hogy az előbb kapott eljárás és eredmény
általánosítható, ugyanis ha az n szám prímtényezős felbontása
 1  1   1 
k 
n = p p  2 ...p , akkor ( )n = n  1−  1−  ... 1−  .
1 

1 2 k
 p 1  p 2   p k 
13. feladat: (Elcserélt levelek) Hányféleképpen helyezhetünk el 4 levelet
a megcímzett borítékokba úgy, hogy semelyik levél se a jó címzéshez
kerüljön?
Megoldás: Legyen A azon esetek halmaza, amelyben az i-vel jelölt
i

címzett (i 1,2,3,4 ) megkapja a levelet. Ekkor A = 3!, A  i A = j 2!,
i
A  A  A = 1!, A  A  A  A = 1.
k
j
3
i
2
1
4
A logikai szita alapján
4 4
A =  A −  A  A +  A  A  A − A  A  A  A =
i= 1 i i= 1 i i j i j k 1 2 3 4

−
= C  3! C  2! C  1! C = 4! 1− 1 + 1 − 1   . A kérdésre a válasz
−
+
4
2
3
1

4
4
 4 4 2! 3! 4!
 1 1 1 1 
−
pedig: a = 4! A  A  A  A = 4! 1− 1! 2! 3! 4! + − +  = 9 .

1
4
3
2
4

Megjegyzés: Észrevehető, hogy az előbb kapott eljárás és eredmény
általánosítható n boríték esetén is, amelyre a válasz
 1 1 1 1 
+
−
a = n ! 1− + − + ... ( 1) n  .

 n 1! 2! 3! ! n 
14. feladat: Határozzuk meg azokat a pozitív, egynél kisebb irreducibilis
törteket,melyek azzal a tulajdonsággal rendelkeznek, hogy a számlálójuk
és a nevezőjük összege 2001.
Megoldás: Azon pozitív, egynél kisebb törteknek a száma amelyeknek a
számlálójuk és a nevezőjük összege 2001, éppen 1000. Meg kell
a
néznünk, hogy ezek közül hány irreducibilis. Ha egy ilyen tört, ahol
b
a< b, a+b =2001, legyen d egy közös osztója az a-nak is és a b-nek is.

Akkor d a b+ = 2001, ahonnan d  3,23,29 . Legyenek rendre A, B, C
a
azon törteknek a halmaza amelyek rendre 3-mal, 23-mal, 29-cel
b
egyszerűsíthetők. A logikai szita alapján:
89