Page 78 - vol2

A bizonyítás érdekében vegyük észre, hogy a Viéte-féle összefüggések
+
értelmében a z = r egyenlet gyökeire igaz, hogy z + z + ... z n− 1 = 0 ,
n
n
0
1
1
n−
vagyis  r   cos 2k   i + sin 2k    = 0 , ezért
k= 0  n n 
 n − 1 cos 2k  =  n − 1 sin 2k  = 0 (4).
k= 0 n k= 0 n
n− 1
Ugyancsak a  z z = 0 Viéte-féle összefüggés alapján, mivel
i
j



0 i j n
n−
n−
 1 z = 0, ezért az is igaz, hogy  1 z = 0 , ahonnan
2
k
k
k= 0 k= 0
n− 1 2k   2k   n− 1 (2k + 1)  (2k + 1) 
  cos 2 − sin 2  = 0 és  sin  cos = 0
k= 0  n n  k= 0 n n
(5). A sin t + 2 cos t = 2 1 alapképlet szerint az (5)-ből adódik, hogy
 n − 1   1 sin 2 (2k + 1)    =  n − 1 sin 2 (2k + 1)  , így
−
k= 0  n  k= 0 n
 n − 1 sin 2 (2k + 1)  =  n − 1 cos 2 (2k + 1)  = 1 n .
k= 0 n k= 0 n 2
Továbbá
A =  n − 1 cos 2  2k +     = n − 1  cos  cos 2k − sin  sin 2k  2 =



k= 0  n n  k= 0  n n n n 
1  n sin 2  + cos 2   = 1 n (6). Teljesen hasonlóan látható be, hogy
2   n n   2
1 . Úgyszintén a sin(p q+
=
q
p
B = n ) sin cosq + sin cos p és
2
=
+
p
cos(p q ) cos cosq − sin sin p képleteket alkalmazva a
q
2 k  
p = , q = értékekre, a C= 0 azonnal adódik.
n n
Ezután, a D, E, F értékeinek a meghatározásánál a (4) összefüggés
mellett a ctgt = cos :sint és 1 ctg t+ 2 = 1:sin t képleteket is használjuk,
2
t
,
miszerint a (2)-ből beírva az a c értékeit azonnal adódnak a következő
k
k
relációk:

78