Page 77 - vol2

Megoldás: A szóbanforgó
szabályos n-oldalú sokszöget
helyezzük el a koordináta
rendszerben a mellékelt ábra
n
n
szerint. Mivel a z = r
binom-egyenlet (r> 0) gyökei
2k   2k  
z =   cos i + sin 
r
 k n n 
minden k  0,1,...,n −  1
esetén az origó középpontú r
sugarú körbeírható szabályos
n-oldalú sokszög csúcsai, ezért
az A pontok koordinátái
k
)
A ( ,x y , ahol x = r  cos 2k és y = r  sin 2k minden
k
k
k
k
n k n
k  0,1,...,n −  1 esetén. Írjuk fel A A oldalaknak az egyenletét, ahol
k+
k
1
A  A . Ezek a következők:
0
n
(2k + 1)
+
+
a x y c = 0, ahol a = ctg (1) és

k
k
k
n
 (2k + 1) 
c = −  cos :sin (2) minden k  0,1,...,n −  1 esetén.
r
k
n n
Így a PP + PP + ... PP = összefüggés alapján felírható, hogy:
2
2
+
2
k
n−
0
1
1
k = 2  n − 1 PP = k  2 n − 1 (a x y c + + k ) 2 vagyis
k
+
2
k= 0 k= 0 1 a k
+



2
2
A x 2 + B y + 2C xy + 2D x+ 2E y F = k (3) ahol

n−
n−
A =  1 cos 2 (2k + 1) , B =  1 sin 2 (2k + 1) ,
k= 0 n k= 0 n
n− 1 (2k + 1)  (2k + 1) 
C =  sin  cos ,
k= 0 n n
n−
n−
1
n−
D =  1 a c 2 , E =  c k 2 , D =  1 c k 2 2 ahol az a c értékeit az (1)
k k
,
k
k
+
+
k= 0 1 a k k= 0 1 a k k= 0 1 a+ k
és (2) összefüggések adják. A továbbiakban igazolni fogjuk, hogy:
1 

( ) A = B = n ( ) C = D = E = 0 ( ) F = n r  cos 2
2
b
a
c
2 n
77