Page 76 - vol2

 r r 3   r r 3 
A ( ,0,0) , B − , ,0   , C −  ,− ,0 
r


 2 2    2 2  
és D (0,0,r 2) ahol r> 0 egy rögzített szám (lásd a mellékelt ábrát).
P
P
Legyenek rendre P , , ,P a P pontnak az ABCD tetraéder (ABC),
1 2 3 4
(BCD), (CDA), (DAB) síklapjaira húzott merőleges vetületei, így a
2
2
2
2
szóbanforgó összeg: PP + PP + PP + PP = k (*) , ahol k> 0 adott
2
2
3
4
1
állandó. Felírjuk most a három pont által meghatározott síkok egyenletét
amelyek a következők:
+

−
(ABC): z= 0; (BCD): 2 2 x z r 2 = ; (CDA):
0


−

6 x − 3 2 y + 3 z r 6 = és
0
−


(DAB) : 6 x + 3 2 y + 3 z r 6 = . Ha a P térbeli változó pont
0
koordinátái P(x,y,z), akkor a pont és sík közötti távolságképlet alapján
felírható, hogy:
−
+
−




2 2 x z r 2 6 x − 3 2 y + 3 z r 6
PP = z ; PP = ; PP = ;
1
2
3 3 3 3


−

6 x + 3 2 y + 3 z r 6
és PP = . Ezúttal a
4
3 3
PP + PP + PP + PP = összefüggés alapján, a számolások
2
2
2
2
k
4
2
3
1
 r 2  2 3 3
elvégzése után azt kapjuk, hogy x + y +  2  z −   = k − r , ami
2
2
2
 4  4 8
egy olyan gömbnek az egyenlete, amelynek a középpontja éppen a
r 2 3 3
2
tetraéder (0,0, ) középpontja, és a sugara R = k − 2 r . Ezzel a
4 4 8
kérdéses mértani helyet a térben is meghatároztuk.
A továbbiakban rátérünk az 1. Feladat általánosítására úgy, hogy
az szabályos háromszög helyett, egy szabályos n-oldalú sokszöget
tekintünk:
3. Feladat: Határozzuk meg azon síkbeli P pontoknak a halmazát,
amelyekre egy szabályos A A A ...A n-oldalú sokszög oldalaitól mért
n−
0 1 2
1
távolságok négyzeteinek az összege állandó!
76