Page 73 - vol2

A továbbiakban olyan
megoldás érdekelne, amely
analógiával kiterjeszthető legyen a
térbe is, illetve általánosítható
legyen a szabályos sokszög esetére
is. Ezért, a megoldás során olyan
eszközöket, eljárásokat és
módszereket kellene használnunk,
amelyeknek megvannak a térbeli
analógjuk, illetve általánosíthatók
is. Nézzünk egy ilyen megoldást!
Megoldás: Az ABC szabályos
háromszöget helyezzük el a
derékszögű koordináta rendszerben úgy, hogy a csúcsainak a koordinátái
 r r 3   r r 3 
a következők legyenek: ( ,0)A r , B − ,   és C −   ,−   , ahol


 2 2   2 2 
r> 0 egy rögzített szám (lásd a mellékelt ábrát). Legyenek rendre
P 1 , ,P a P pontnak az ABC háromszög AB, BC, CA oldalaira húzott
P
3
2
2
2
2
2
merőleges vetületei, így a szóbanforgó összeg: PP + PP + PP = k (*)
1
3
2
, ahol k> 0 adott állandó.
A feladatnak az analóg kiterjesztése és általánosítása érdekében, a
koordináta geometria eszközeit használjuk. Ismeretes, hogy két ( , )x y
1 1
)
és ( ,x y ponton áthaladó egyenes egyenlete a következő:
2
2
x y 1
0
x 1 y 1 1 = . Ennek alapján, ha az AB, BC, CA oldalegyeneseinek az
x 2 y 2 1

−
0
egyenlete rendre d ,d ,d , akkor: d : 3 x + 3y r  3 = ,
AB BC CA AB
+
+

0
d BC :2x r = 0, d CA : − 3 x + 3y r  3 = . Ha a P változó pont
koordinátái P(x,y), akkor a pont és egyenes közötti távolságképlet alapján
−
3 x + 3y r  3 2x r

+
felírható, hogy: PP = , PP = ,
2
1
12 2
− 3 x + 3y r  3

+
PP = . Ha most beírjuk a PP , PP , és PP
3
12 1 2 3
kifejezéseket a (*) összefüggésbe, akkor számolások után azt kapjuk,
73