Page 68 - vol2

−
−
27(2 t ) 1 27(2 t )
Ezért bizonyítjuk, hogy f ( )  y =   (3)
t
+
50 1 t 2 50
)
vagyis (3x − 1) (4 3 )  0, t  (0,1 . Ha most felírjuk ezeket az

−
2
t

egyenlőtlenségeket t   , ,x y z esetén, akkor azt kapjuk, hogy
−
−
−
1  27(2 x ) , 1  27(2 y ) , 1  27(2 z )
+
+
+
1 x 2 50 1 y 2 50 1 z 2 50
ha most összegezzük ezeket, akkor azt kapjuk, hogy
−
−
−
1 + 1 + 1  27(6 x y z ) = 27
+
+
+
1 x 2 1 y 2 1 z 2 50 10
és ezzel megoldottuk a feladatot.
5. feladat: Ha , ,a b c egy háromszög oldalai úgy, hogy a b c+ + = 1, akkor
 1 1 1  1 1 1
igazoljuk, hogy 4  + +   + + + 9.
+
+
 a b b c c a  + a b c
Megoldás: Mivel a , ,c egy háromszög oldalai, ezért érvényes a
b
1
háromszög egyenlőtlensége, miszerint b c+  a ezért 1 a−   
a
a
2
és hasonlóan a másik két oldal esetén is.
4 1 5x − 1  1 
Tekintsük az ( )f x = − = , f : 0,  → R függvényt. Mivel

−
−
1 x x x x 2  2 
)
x
f "( ) nem előjeltartó a (0,1 intervallumon, ezért sem nem konvex,
1
sem nem konkáv. Mivel a b c+ + = 1 fennáll ha a b c= = = ezért felírjuk
3
 1  1  
az érintő egyenletét az  , f   
 3  3  
belső pontban:

68