Page 69 - vol2

 1   1   1 

y − f   = ' f    x −  vagyis y = ( 3 6x − ) 1 A kővetkező ábrán az
 3   3   3 
érintő a függvényábra fölött van:
5x − 1
x
Ezért bizonyítjuk, hogy f ( )  y = 3(6x − 1)   3(6x − 1) (3)
−
x x 2
 1 
vagyis (3x − 1) (x − 1)(2x − 1) 0, x  0,  . Ha most felírjuk ezeket az


2
 2 

egyenlőtlenségeket x  , ,a b c esetén, akkor azt kapjuk, hogy
5a − 1  3(6a − 1) , 5b − 1  3(6b − 1), 5c − 1  3(6c − 1)
−
−
−
a a 2 b b 2 c c 2
ha most összegezzük ezeket, akkor azt kapjuk, hogy
5a − 1 + 5b − 1 + 5c − 1  + + − =

−
−
−
a a 2 b b 2 c c 2 3(6(a b c ) 3) 9
és ezzel megoldottuk a feladatot.
A módszer jobb elmélyítése végett, az érdeklődő Olvasónak a következő
feladatok megoldását javasoljuk:

1) Ha , ,a b c pozitív valós számok amelyekre a b c+ + = 1, igazoljuk, hogy
a 2 + b 2 + c 2  1 .
+
+
+
+
2a b c a + 2b c a b + 2c 4
2) Ha , ,a b c pozitív valós számok amelyekre a b c+ + = 1, igazoljuk, hogy
a + b + c  3 3 .
4a + 1 4b + 1 4c + 1 7

3) Ha , ,a b c pozitív valós számok amelyekre a b c+ + = 1, igazoljuk, hogy
1 + 1 + 1  9
2
2
6a + 1 6b + 1 6c + 1 5 .
2

69