Page 33 - vol2
P. 33
4. Egyenlőtlenségek bizonyítása dualitási elv segítségével
A trigonometrikus egyenlőtlenségek bizonyítására számos
lehetőségünk, eszközünk és módszerünk van. Használhatunk
trigonometriai képleteket, tételeket, geometriai interpretációkat,
vektorgeometriai eljárásokat, a koordináta-geometria eszközeit, komplex
számokat, algebrai középarányos egyenlőtlenségeket, vagy éppen a
matematikai analízis eszközeit.
A továbbiakban, a trigonometrikus egyenlőtlenségek
bizonyítására egy különös és speciális algebrai módszert alkalmazunk,
amelynek a neve: dualitási elv.
DUALITÁSI ELV: az , ,a b c számok akkor és csakis akkor képezik egy
0
háromszög oldalainak a hosszát, ha léteznek olyan , ,x y z számok,
y
y
z
x
amelyekre a = + z , b = + x , c = + ( D )
1
+
+
a b c
Bizonyítás: Legyenek , ,a b c egy háromszög oldalai és p =
2
a háromszög félkerülete. Ekkor az
−
+
−
+
−
−
+
−
a = (p b ) (p c , b = (p a ) (p c , c = (p a ) (p b
−
)
)
)
−
egyenlőségek miatt az x = p a 0, y = p b 0, z = p c 0 választás
−
−
megfelelő. Fordítva: az a = + z , b = + x , c = + egyenlőségekből
x
z
y
y
kapjuk, hogy
+
+
+
−
−
−
x = b c a , y = c a b , z = a b c ( D )
2 2 2 2
és az , ,x y z feltétel miatt a háromszög egyenlőtlenség alapján , ,a b c
0
valóban egy háromszög oldalait képezik. A továbbiakban jelölje , ,a b c az
ABC háromszög megfelelő oldalait, p a félkerületét, r a beírt kör
sugarát, R a köré írt kör sugarát, , , r r r a megfelelő oldalakhoz írt körök
a
b
c
sugarát, h a , , h a megfelelő magasságok hosszát.
h
c
b
33