Page 33 - vol2
P. 33

4. Egyenlőtlenségek bizonyítása dualitási elv segítségével




                   A  trigonometrikus  egyenlőtlenségek  bizonyítására  számos
            lehetőségünk,  eszközünk  és  módszerünk  van.           Használhatunk
            trigonometriai  képleteket,  tételeket,  geometriai  interpretációkat,
            vektorgeometriai eljárásokat, a koordináta-geometria eszközeit, komplex
            számokat,  algebrai  középarányos  egyenlőtlenségeket,  vagy  éppen  a
            matematikai analízis eszközeit.

                   A    továbbiakban,     a    trigonometrikus    egyenlőtlenségek
            bizonyítására  egy  különös  és  speciális  algebrai  módszert  alkalmazunk,
            amelynek a neve: dualitási elv.

                   DUALITÁSI ELV: az  , ,a b c  számok akkor és csakis akkor képezik egy
                                                                         0
            háromszög  oldalainak  a  hosszát,  ha  léteznek  olyan  , ,x y z    számok,
                                                          y
                                     y
                                              z
                                                       x
            amelyekre             a = +  z , b = +  x , c = +  ( D )
                                                               1
                                                                             +
                                                                                +
                                                                           a b c
                   Bizonyítás: Legyenek  , ,a b c  egy háromszög oldalai és  p =
                                                                              2
            a háromszög félkerülete. Ekkor az
                                  −
                             +
                                                     −
                                                 +
                                             −
                                                                −
                                                                    +
                                                                        −
                    a =  (p b ) (p c , b =  (p a ) (p c , c =  (p a ) (p b
                          −
                                                        )
                                    )
                                                                           )
                                                       −
            egyenlőségek  miatt  az  x =  p a  0, y =  p b  0, z =  p c   0   választás
                                                                   −
                                          −
            megfelelő.  Fordítva:  az  a = +  z , b = +  x , c = +   egyenlőségekből
                                                            x
                                                    z
                                           y
                                                                y
            kapjuk, hogy
                                                         +
                                +
                                             +
                                   −
                                                            −
                                                −
                            x =  b c a , y =  c a b , z =  a b c   ( D )
                                  2           2            2       2
            és az  , ,x y z   feltétel miatt a háromszög egyenlőtlenség alapján  , ,a b c
                         0
            valóban egy háromszög oldalait képezik. A továbbiakban jelölje  , ,a b c  az
             ABC   háromszög  megfelelő  oldalait,  p   a  félkerületét,  r   a  beírt  kör
            sugarát, R  a köré írt kör sugarát,  ,  , r r r  a megfelelő oldalakhoz írt körök
                                             a
                                                b
                                                   c
            sugarát,  h a ,  , h  a megfelelő magasságok hosszát.
                        h
                             c
                         b

                                               33
   28   29   30   31   32   33   34   35   36   37   38