Page 32 - vol2

)
E  5 2 ( 2a + 1 2b + + 2b + 1 2c + + 2c + 1 2a + 1  vagyis
2
+
1
1
5
1
E  5 . Egyenlőség akkor áll fenn, ha a három szám közül kettő − -el
2
egyenlő, a harmadik pedig az a b c+ + = 1alapján 2-vel egyenlő.
22. példa: Az , ,x y z valós számokra teljesülnek az x + y z = 4 és az
+
xy + yz zx = 4 egyenlőségek. Milyen korlátok között változhatnak
+
az , ,x y z számok?
−
Megoldás: Az egyenletrendszer így is felírható: x + = 4 z és
y
xy = 4 z (x y vagyis x + = 4 z és xy = 4 4z + 4z . Képezzük azt a
−
+
2
−
−
)
y
másodfokú egyenletet, amelynek a gyökei ,x y :
2
+
−
−
t − (4 z + 4 4z z = . Mivel az egyenletnek valós gyökei kell
2
)t
0
 8
legyenek, ezért      0, 3  . És mivel az eredeti egyenlet rendszer
z
0
t
szimmetrikus az , ,x y z ben− , ezért igaz az is, hogy x    0, 8 3  és y     0, 8 3  .
(x y z+ + ) 6
23. példa: Határozzuk meg az ( , , )f x y z = függvény
2 3
xy z
minimumát, ha x>0, y>0 és z>0 valós számok!
Megoldás: Alkalmazzuk a számtani és a mértani közepek közötti
egyenlőtlenséget 6 tag esetén, a következő választással:
y y z z z
x + + + + + 2 3 (x y z+ + ) 6
2 2 3 3 3  6 x y z ahonnan ( , , )f x y z =  2 3
4 3
2 3
6 4 27 xy z
y z
Egyenlőség az x = = esetben áll fenn.
2 3

32