Page 29 - vol2

1
ax m b nb  nb  m n
+
+
függvény minimuma, és ezt az =  x m n =  x =  
n mx n ma  ma 
esetben veszi föl.
14. példa: Határozzuk meg az :f R → R , ( ) = x − 5x + 11 függvény
5
4
f
x
szélsőértékeit!
5
Megoldás: Nyilvánvaló, hogy az ( )f x = x − 5x + 11 függvénynek akkor
4
vannak szélsőértékei, mint amikor a ( )g x = x − 5x = x 4 (x− 5) . Ennek a
4
5
szélsőértékeit könnyen meghatározhatjuk, ha meghatározzuk a
−
x
h ( ) = − g ( ) = x 4 (5 x ) függvény szélsőértékeit. Alkalmazzuk a számtani és
x
a mértani közepek egyenlőtlenségét a következő választással:
x + x + x + x + (5 x )
−
−
1= 4 4 4 4  5 x 4 (5 x ) , vagyis ( ) 4h x  4 = 256. Egyenlőség
4
5 4
x = 5 x  x = 4 esetben áll fenn, ekkor h-nak helyi maximuma, így f-nek
−
4
0
minimuma van, és minf(x)= f(4)= -245. Másfelől, ha x  akkor a h
−

függvénynek helyi minimuma van, hiszen x 4 (5 x ) 0és egyenlőség x=0
esetben áll fenn, ez lesz az f maximum helye, amelyre maxf(x)=f(0)=11.

15. példa: Mennyi az a b minimuma, ha a  0, b  0 és 5a + 7b = 1?
x + y
Megoldás: Mivel minden x  0, y 0 esetén  xy és egyenlőség

2
1 5a + 7b 1
csak x = y esetben igaz, ezért =  35ab , ahonnan ab  ,
2 2 140
egyenlőség 5a = 7b esetben igaz, az 5a + 7b = 1

1 1
alapján a = és b = esetben áll fenn.
10 14

16. példa: Ha x + 2 y = 2 1, akkor határozzuk meg az E = 2x + 3y kifejezés
szélsőértékeit!

Megoldás: Legyen 2x + 3y = p és az x + 2 y = 2 1 összefüggés alapján, mivel

29