Page 37 - vol2

x + y , y + z , z + számokra.
x
9. r + r + r  9r
b
c
a
Megoldás: A (*) képletek alapján a duális feladat a következő:

 1 1 1 
(x + + ) z  + +   9 ami nem más, mint a számtani és harmonikus
y
 x y z 
közepek közötti egyenlőtlenség.

10. tg 2 A + tg 2 B + tg 2 C  9tg A tg B tg C
2 2 2 2 2 2

Megoldás: A (*) képletek alapján a duális feladat a következő:
yz + zx + xy  9 xyz vagyis (x + + ) z  1 + 1 + 1   9 ami nem
y
+
x y z x + y z   x y z  
más, mint a számtani és harmonikus közepek közötti egyenlőtlenség.

11. r + r + r  p
2
2
2
2
b
c
a
Megoldás: A (*) képletek alapján a duális feladat a következő:
 1 1 1  1 1 1 1 1 1
+
xyz  2 + 2 + 2   x + y z vagyis 2 + 2 + 2  + + . Legyen
 x y z  x y z xy yz zx
1 1 1
most = a , = b , = c így bizonyítani kell, hogy
x y z
−
2
2
+
2
−
+
2
a + b + c  ac bc ca vagyis (a b− ) + (b c + (c a  .
2
2
)
)
0
A B C
12. tg 2 + tg 2 + tg 2  1
2 2 2
Megoldás: A (*) képletek alapján a duális feladat a következő:
yz + zx + xy  x + + vagyis ( )xy + ( ) + ( )  xyz (x y z és ha
2
2
+
+
2
z
y
)
z
x
z
y
x y z
xy = a , yz = b , zx = akkor azt kell bizonyítani, hogy
c
2
−
2
2
+
2
2
2
−
+
a + b + c  ac bc ca vagyis (a b− ) + (b c + (c a  .
0
)
)

37