Page 31 - vol2

19. példa: Határozzuk meg az
2
2
(p + + 1)(q + + 1)(r + r 1)(s + s 1)
2
+
+
2
p
q
E = kifejezés minimumát,
pqrs
0
ha , , ,p q r s  .
1
Megoldás: Mivel a +  2 minden a  esetén, ezért
0
a
x + 2 x + 1 = 1 x + 1  3 , így hát E  3 3 3 3 81, egyenlőség
+

=


x x
p = = = = 1 esetben áll fenn.
s
q
r
+
+
+
(a b )(b c )(c a )
20. példa: Mennyi az minimuma, ha
abc
a  0, b  0, c  ?
0
x + y
Megoldás: Mivel minden x  0, y 0 esetén  xy és egyenlőség

2
csak x = y esetben igaz, ezért felírható, hogy:
+
+
+
+
+
+
a b b c c a  ab bc ca = abc , ezért (a b )(b c )(c a )  8 és
2 2 2 abc
egyenlőség az a b c= = áll fenn.
1
21. példa: Ha , ,ca b  − és a b c+ + = 1, akkor mennyi az
2
E = 2a+ + 2b+ + 2c+ kifejezés maximuma illetve
1
1
1
minimuma?
+
+
2
2
x + y + z 2 x y z
Megoldás: Mivel  és egyenlőség az x = y = z
3 3
esetben áll fenn, ezért az x = 2a + 1, y= 2b+ 1, z= 2c + esetben
1
1
1
5 2a + + 2b + + 2c + 1
felírható, hogy  , ahonnan E  15 ,
3 3
1
egyenlőség a = = = esetben áll fenn. Másfelől felírható, hogy
b
c
3

31