Page 35 - vol2

0
y
a bizonyítandó egyenlőtlenség, hiszen a továbbiakban az x , , z 
feltételt sokkal könnyebben lehet használni, mint az
+

+


+
a b c , b c a , c a b illetve az A B C + + = feltételeket. Így
várhatóan egy könnyebb feladatot kell bizonyítanunk.
ALKALMAZÁSOK: A következőkben, - a felsorolt képletek alapján
(jelöljük ezeket (*)-al) – trigonometrikus egyenlőtlenségeket algebrai
egyenlőtlenségekre vezetünk vissza.

Igazoljuk a következő egyenlőtlenségeket!
1. p  3 3r

Megoldás: A (*) képletek alapján a duális feladat a következő:
+
(x y z  27xyz ami nem más, mint a számtani és mértani közepek
3
+
)
közötti egyenlőtlenség.
2. R  2r (Euler féle egyenlőtlenség)
Megoldás: A (*) képletek alapján a duális feladat a következő:
(x + y )(y + z )(z + x ) 8xyz ami nem más, mint a Cesaro-féle

egyenlőtlenség, aminek a bizonyítása a számtani és mértani közepek
közötti egyenlőtlenség alapján azonnali, hiszen
x +  2 xy , y +  2 yz , z +  2 zx és a megfelelő oldalak szorzatából
y
x
z
éppen a Cesaro egyenlőtlenség adódik.
2
3. p  2 12Rr + 3r
Megoldás: A (*) képletek alapján használva az
xyz + (x + y )(y + z )(z + x ) (x + + z )(xy + yz + zx ) azonosságot a
=
y
2
bizonyítandó egyenlőtlenség duálisa (x y z+ + )  3(xy + yz zx ) vagyis
+
+
2
2
2
x + y + z  xy + yz zx ami nem más, mint
(x y + (y z + (z x 
2
−
−
2
−
2
)
0
)
)
A B C 1
4. sin sin sin 
2 2 2 8

35