Page 38 - vol2

A B C
13. ctg 2 + ctg 2 + ctg 2  9
2 2 2

Megoldás: (*) képletek alapján a duális feladat a következő:
 x y z 
2
2
(x + + ) z  + +   9 vagyis (x y z+ + )(x + y + z 2 ) 9xyz ami igaz,

y
 yz zx xy 
hiszen a számtani és mértani közepek egyenlőtlensége alapján
2
x + y z  3 xyz , x + y + z  3 x y z .
2
+
2
2
2 2
1 1 1 3
14. + + 
a b c 2r
Megoldás: a (*) képletek, a számtani, mértani és négyzetes
középarányosok egyenlőtlenségei alapján rendre felírhatók, hogy
1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1   1  1 + 1 + 1   = x + y + z 
+
+
+
a b c y z x z y z 2   yz zx xy   2 xyz
2 2 2
( ) ( ) ( ) z+ x y + 1 3
 3 = .
3 2 xyz 2r

A a
15. sin 
+
2 b c
Megoldás: Ez a feladat kissé eltér az eddigiektől, ugyanis az előző
feladatokban a kifejezések , ,a b c -ben, így , ,x y z -ben is szimmetrikusak
voltak, ellenben most ez nem így van, ami megnehezíti a megoldásunkat.
A (*) képletek alapján a duális feladat a következő:
+
(x + y )(x z y + ) z 2  yz (x + y ) (x +  ) z 2 . Vegyük észre, hogy a kifejezés
+
)(
mindegyik tagja 4-ed fokú, azért osszunk végig x 4 -el és vezessük be a
y z
v =  0, w =  0 új változókat. Ekkor, kisebb átalakítások után a
x x
2
+
bizonyítandó egyenlőtlenség így alakul: (v w− ) (1 v w ) 0 ami igaz.

+
A bemutatott feladatok alapján lehet, hogy úgy tűnik, hogy a
dualitási elv egy univerzális módszer, amolyan „svájci bicska”, vagyis

38