Page 28 - vol2

a + 2 b 2 a b
+
b
Megoldás: Mivel  és egyenlőség csak az a = esetben áll
2 2
fenn, ezért
−
−
x
x
x
f ( ) = 2 3 1 x + 3 2 1 x  2 3 3 2 1 x = 6 vagyis ( ) 2 6f x  .
−
−
1 x x
x
2 2
−
2 
2 
−
−
x
x
Egyenlőség 2 3 1 x = 3 2 1 x     x =    1 x  x = 1 esetben áll fenn.
 3   3  2
Másfelől becsüljük meg az f(x)-5 különbséget! felírható, hogy:



+

 2  x  3  x (3 2 − 3 3 2) (2 3 − 2 2 3 )
x x
x
x
2x
−
=
−
f ( ) 5 3   + 2   − 3 2 = =
x
 3   2  6 x
x

x
x
x
3 2 (2 − 3 ) 2 3 (2 − 3 )   2  x 2 

−
x
x
== = (2 − 3 ) x   −  3 x+ 1  0 ha
x
6 x    3  3  
x   , ezért ( ) 5f x  . Egyenlőség x=0 vagy x=1 esetben áll fenn.
0,1
b
13. példa: Határozzuk mg az ( )f x = ax + m függvény minimumát, ha
x n
x
m
a , , , , n  és m, n természetes számok!
b
0
Megoldás: Írjuk fel a számtani és mértani középarányosok közötti
egyenlőtlenséget m+n tag esetén, a következő választással:
 ax m ax m ax  m  b b b 
 + + ...+  +  n + n + ... n 
 n n n   mx mx mx  
+
n m
1
n
+
a n b m 1   a   b  m  m n
 m n (x m n =      
)
+
n m
x
n n m m ( )    n   m   
1
  a   b  m  m n
n
+
Tehát ( ) (f x  m + ) n       , vagyis ez utóbbi kifejezés az f
   n   m   

28