Page 30 - vol2

p − 3y
=
2
x = , ezért 13y − 6py + p − 4 0 megoldható a valós számok
2
2
halmazán, ezért   0 , ahonnan p  13 − 13 p  13.
2
17. példa: A Descartes-féle síkbeli derékszög_ koordinátarendszer
mely pontjaira teljesül, hogy x + 2 y = 2 1 és x + y maximális?

Megoldás: Ismert az abszolút érték háromszög egyenlőtlensége, miszerint
+
x y  x + y és egyenlőség akkor áll fenn, ha a két szám egyforma előjelű.
Továbbá a számtani és négyzetes középarányosok egyenlőtlensége alapján
felírható, hogy:

Egyenlőség azokra a számpárokra áll fenn, amelyekre az x = y és x, y

azonos előjelű, és x + 2 y = 2 1. Ezért a feltételnek eleget tevő számpárok
 2 2   2 2 
 ,   ,−  . Ezekre az értékekre lesz a x + y maximális.
, −  


 2 2   2 2 
x 2 y 2
18. példa: Mennyi az E = + kifejezés minimuma, ha
y − 1 x − 1
x  1, y 1?

Megoldás: Végezzük el az a=x-1 és b=y-1 változócserét. Ekkor, az
+
x + 2 y 2  x y egyenlőtlenség alapján
2 2
+
(a + 1) 2 (b 1) 2

1
E = b + a   a + 1 + 2  b + + 2  4 4 = 4 , ugyanis


2 2   a  b 

1 1
a +  2 és b +  2 , így E  , Egyenlőség a b= = 1 vagyis x = y = 2
8
a b
esetben áll fenn.

30