Page 27 - vol2

10. példa: Határozzuk meg az ( ) 5sinf x = x + 12cos x kifejezés legkisebb
és legnagyobb értékét, ha x R !

Megoldás: Ismert a Cauchy-Buniakovsky-Schwarz féle egyenlőtlenség sajátos
esete, miszerint:

2
2
2
(aA bB+ )  (a + b 2 )(A + B 2 ) . Ha mosta = sinx, b = cos , =5, B = 12,
x
A
2
2
2
akkor f 2 ( )  (5 + 12 2 )(sin x + cos x ) 13= 2 , ahonnan f ( )  13 , ezért
x
x

− 13 f ( ) 13.
x
11. példa: Adjuk meg az ( ) sinf x = 8 x+ cos x függvény szélsőértékeit,
8
ha x R !
Megoldás: Végezzük el az alábbi átalakításokat:
=
2
4
4
4
4
f ( ) (sin x+ cos x − 2sin x cos x .
x
)
Ellenben 1 (sin x= 2 + cos x = sin x+ cos x+ 2sin x cos x, így
2
2
4
2
4
2
)
felírható, hogy
1
2
2
2
−
4
4
4
2
)
x
f ( ) = (1 2sin x cos x − 2sin x cos x = sin 2x − sin 2x + 1.
8
2
a
Vezessük most be a sin 2x = változócserét. Így a
1 1
2
2
g ( ) = a − + 1= (a − 4) − függvény szélsőértékeit kell
a
1
a
8 8
meghatároznunk, ahol 0 a  1 . De mivel az a változó nem veheti föl az 4
1
értéket, ezért a g függvény esetén nem írható fel, hogy (a − 4) −  − 1
2
1
8
hanem arra következtethetünk, hogy a g függvény parabolájának a csúcsa a
−
1
4
V (4, 1) pontban van, és mivel a  , ezért a  , vagyis a parabolának
csak a baloldali leszálló ágáról van szó, ahol a g függvény monoton csökkenő a
1
  intervallumon, ezért = g (1)  g ( )  g (0) 1 és ezek adják egyben
0,1
=
a
8
az f függvény szélsőértékeit is.
−
12. példa: Határozzuk meg az   → R , ( ) 2 3f x = x 1 x + 3 2 1 x
−
f
x
: 0,1
függvény szélsőértékeit!

27