Page 26 - vol2

Megoldás: Vizsgáljuk meg a függvény monotonitását. Legyen     0 .

Ekkor felírható, hogy
−
+
 2 (1  )  2 (1  ) ( −  2 )  (  )
+
+
−
2


f ( ) − f ( ) = =  0 ami

2
( + + 1)( +  + 1) ( + + 1)( +  + 1)
2
2
2

azt jelenti, hogy az f függvény szigorúan csökkenő, ezért
2 = f (1)  f ( ) f(0) 1
=

x
3
x − 2 2x + 2
8. példa: Határozzuk meg az : \ 1f R   → R , ( )f x =
2x − 2
függvény szélsőértékeit!
1  1  1
Megoldás: Vegyük észre, hogy ( )f x =  x − 1+  és az a +  2
2  x − 1  a
0
minden a  esetén alapján, ha x> 1, akkor ( ) 1f x  . Ellenben, ha x< 1,
x 2 x 2
akkor mivel ( )f x = − 1 és szigorúan csökkenő, ezért
2(x − 1) 2(x − 1)
x 2 − 1 −
2(x − 1) 1 és egyenlőség csak x= 0 esetben áll fenn. Vegyük észre, hogy
az m= 1 a függvénynek csak lokális minimuma, úgyszintén az M= -1 is csak
lokális maximuma.
−
9. példa: Határozzuk meg az ( )f x = x − 3 + 7 x kifejezés legkisebb
és legnagyobb értékét, ha x R !

+
a + 2 b 2 a b
b
Megoldás: Mivel  és egyenlőség csak az a = esetben áll
2 2
fenn, ezért az a = x − 3 és b = 7 x választással felírható, hogy:
−
−
−
x − 3 7 x  x − 3 + 7 x , vagyis x− + 7 x  2 2 ,
+
−
3
2 2
=
egyenlőség akkor áll fenn, ha x − 3 7 x , vagyis x = .
−
5
−
+
x
4
3
Másfelől f 2 ( ) = 4 2 x −  7 x  , és egyenlőség akkor áll fenn, ha
x = 3 vagy x = .
7

26