Page 19 - vol2

Megoldás: Az adott függvény még így is
felírható:

2
2
2
2
f ( ) = x + (x − 4) + x + (x + 3) .
x
x
Ez nem más, mint az y = egyenletű
egyenesen elhelyezkedő ( , )P x x pontnak a
távolságainak az összege a P 1 (0,4) és
−
P (0, 3) pontoktól vagyis
2
f ( ) = x PP + 1 PP . Minimizálni ezt az
2
értéket azt jelenti, hogy megkeresni az y=x
egyenesen a P pontnak azon helyzetét,
amelyre a PP + PP összeg a lehető leg kisebb. Belátható, hogy ez akkor a
1
2
+
=
leg kisebb, ha P éppen egybeesik az O origóval, tehát ( )f x  f (0) = 4 3 7
11. példa: Két, egymásra merőleges úton
a kereszteződés felé egyenletes
sebességgel halad két kerékpáros.
Egyszerre indultak, az egyik 30
km/h sebességgel 20 km távolságból,
a másik 40 km/h sebességgel 10
km távolságból. Mikor és hol lesznek
egymáshoz a legközelebb?
Megoldás: Legyen a keresett idő
órában mérve x. Ekkor az egyik úton
haladó kerékpáros 30x km-t tett meg,
míg a másik kerékpáros által megtett
út hossza 40x km lesz. A két
kerékpáros aktuális távolságát Pitagorasz tételének alkalmazásával

−
2
2
−
számolhatjuk: ( )d x = (20 3 ) + (10 40 ) . Legyen
x
x
 2  2 2
d 2 ( ) = f ( ) = 2500 x −  + 100 . A függvénynek x = nél lesz
x
x

 5  5
2
minimuma, az az a két kerékpáros óra = 24 perc múlva lesz a legközelebb
5
egymáshoz. Ez a minimális távolság 100 10= km lesz. Ekkor a 40
km/h sebességgel haladó kerékpáros már áthaladt a kereszteződésen.

19