Page 24 - vol2

3. Függvények szélsőértéke

Ebben a paragrafusban egy, vagy többváltozós elemi függvény
szélsőértékeit határozzuk meg, elemi módszerekkel. A továbbiakban a
módszerek változatosságára szeretnénk figyelmet fordítani.
x + 2
2
1. példa: Határozzuk meg az ( )f x = függvény minimumát, ha
2
x + 1
x R .

+
x + 2 1 1 1
Megoldás: Felírható, hogy ( )f x = = x + 1+  2 mert
2
x + 2 1 x + 2 1
1
a +  2 minden a  esetén, és egyenlőség x + 1 1 = esetben
2
=
0
x
0
a
áll fenn.
4
2. példa: Határozzuk meg az f R → R , ( )f x = + x függvény
:
+
x 2
legkisebb értékét!
+
+
a b c
0
Megoldás: Mivel  3 abc minden a  0, b  0, c  esetén, és
3
4 x
egyenlőség csak az a b c= = esetben áll fenn, ezért az a = , b = =
c
x 2 2
4 x
3
választással ( ) 1f x  adódik, és egyenlőség a =  x = 8  x = 2
x 2 2
esetben áll fenn.
3x + 2 18x + 23
3. példa: Határozzuk meg az ( )f x = függvény
x + 2 6x + 10
maximumát, ha x R .
3(x + 6x + 10) 7 7
2
−
Megoldás: felírható, hogy ( )f x = = 3− és ez
x + 6x + 10 x + 6x + 10
2
2

24