Page 22 - vol2


= tgA tgB tgC és már láttuk, hogy tgA tgB tgC   3 3 . Egyenlőség az


A = B = C = esetben, vagyis egyenlő oldalú háromszögben áll fenn.
3
17. példa: A T területű általános ABC háromszögbe egy A B C
1
1 1
háromszöget írunk. Mennyi ennek a háromszög területnek a
maximuma?
Megoldás: A mellékelt ábra jelöléseit
használva igazoljuk, hogy ha BA1=p A1C,
CB1=q B1A, CC’= r C’A, akkor igaz, hogy

+
1 pqr
)
).
T (A B C = T (ABC
1 1
1
+
+
+
(1 p )(1 q )(1 r )
Valóban, felírható, hogy
)
T (A BC = T -T 1 -T 2 -T (*) ahol
3
1 1 1
T=T=ABC). Továbbá
AC AB sin A r 1 AC AB  sin A r 1
T = 1 1 = = T .Teljesen
1
+
+
+
+
2 1 r 1 q 2 1 r 1 q
p 1 q 1
hasonlóan kapjuk, hogy T = , T T = T . Ezeket
+
+
2
+
+
1 p 1 r 3 1 q 1 p
behelyettesítve az (1) összefüggésbe, a műveletek elvégzése után éppen a
jelzett összefüggés adódik. De 1 p+  2 p , 1 q  2 q , 1 r  2 r , ezért
+
+
+
+
1 pqr  1 pqr  1 , hiszen( 1 − pqr ) 2 
+
+
+
(1 p )(1 q )(1 r ) 8 pqr 4 1 , így hát
1
(T A B C  T (ABC Egyenlőség p= q= r= 1 esetben áll fenn, amikor az
)
).
1
1 1
4
A 1 , , C pontok éppen oldalfelező pontok.
B
1
1
18. példa: Az ABCD konvex négyszög AB, BC, CD, DA oldalain felvesszük
rendre az A1, B1, C1, D1 pontokat úgy, hogy
AA 1 = BB 1 = CC 1 = DD 1 = k  0 . Ha az ABCD négyszög területe állandó,
A B B C C D D A
1
1
1
1
és az A B C D négyszög területe T, határozzuk meg a T legkisebb
1 1
1
1
értékét!
k 1 k 1
Megoldás: T = T (DAC ), T = T (BAC így
)
1
k + 1 k + 1 3 k + 1 k + 1

22