Page 21 - vol2

14. példa: Ha A, B, C egy háromszög szögei, akkor mennyi a
A B C
E = sin sin sin szorzat maximuma?
2 2 2
Megoldás: Összeggé alakítva az első szorzatot rendre felírható, hogy:
A B C
E = sin sin sin =
2 2 2
+
−
1  A B A B  C 1  C  C
=  cos − cos  sin   1 sin  sin . Továbbá a
−
2  2 2  2 2  2  2
számtani és mértani közepek egyenlőtlensége alapján
 − C + C  2
 1 sin C  sin C   1 sin 2 sin 2  = 1 , tehát E  1 és egyenlőség
−
 2   2    2   4 8
 

csak az A = B = C = esetben áll fenn.
3
15. példa: Melyik hegyesszögű ABC háromszögre a legkisebb az


F = tgA tgB tgC szorzat értéke?
Megoldás: A számtani és mértani közepek egyenlőtlensége alapján felírható,
+
+
tgA tgB tgC




hogy  3 tgA tgB tgC , de tgA tgB tgC+ + = tgA tgB tgC
3
, ezért azonnal kapjuk, hogy tgA tgB tgC   3 3 , egyenlőség

A = B = C = esetben áll fenn.
3
16. példa: Adott kör köré írható háromszögek közül melyiknek a legkisebb
a területe?
Megoldás: Az általánosság csorbítása
nélkül feltételezhető, hogy az adott kör
sugara egységnyi. Ekkor, a mellékelt ábra
jelöléseivel felírható, hogy:
+
=
+
AB tgA tgB , BC = tgB tgC ,
=
+
CA tgC tgA. Ekkor az ABC
háromszög területe egyenlő:
1
T = (tgA tgB tgB tgC tgC tgA+ + + + + ) tgA tgB tgC= + + =
2

21