Page 15 - vol2

2. Geometriai szélsőértékek

Ebben a paragrafusban geometriai problémák szélsőértékeinek a
megállapításával foglalkozunk, a síkgeometriai vizsgálatokat részesítve előnybe.
Ezúttal is csak elemi módszerekkel bizonyítunk, mellőzve a felsőbb matematikai
fogalmakat, ismereteket, számolásokat.
1. példa: Az ABCD konvex négyszög belsejében keressük meg azt a P
pontot, amelyre a PA+PB+PC+PD összeg minimális.
Megoldás: Igazolni fogjuk, hogy a szóban
forgó P pont éppen az AC és BD átlók
metszéspontja lesz. Feltételezzük az
ellenkezőjét vagyis, hogy az átlók
metszéspontján kívül létezik olyan P’ pont
amelyre P’A+P’B+P’C+P’D < PA+PB+PC+PD. A
háromszög egyenlőtlensége alapján felírható,
hogy P’A+ P’C > AC = PA+ PC és P’B+ P’D> BD=
=PB+ PD és ezek összegzéséből adódik, hogy
P’A+P’B+P’C+P’D> >PA+PB+PC+PD és ez ellentmondás.
2. példa: Adott körlemeznek egy tetszés szerinti pontjában rajzoljuk meg
a legnagyobb és a legkisebb húrt!
Megoldás: Legyen P a körlemez egy adott pontja.
Nyílván való, hogy ezen át húzott leghosszabb húr
éppen az átmérő lesz, legyen ez A1B1 . Legyen most
A2B2 egy másik húr, amelyik áthalad a P ponton. A
pontnak a körre vonatkozó hatványa szerint
ellenben AP PB = A P PB = állandó

1 1 2 2
De a számtani és mértani közepek egyenlőtlensége
alapján felírható, hogy
+
A B = A P PB  A P PB = állandó , egyenlőség akkor áll fenn, ha

2
2
2
2
2
2
A P = PB de ez csak akkor igaz, ha az A B húr merőleges az A B húrra.
2
2
2
1 1
2
3. példa: Azon háromszögek közül, amelyek egyik szöge  , a vele
szemközti oldala a, szerkesszük meg a legnagyobb kerületűt!

15