Page 16 - vol2

Megoldás: Tehát a szóban forgó ABC háromszög A
szöge  nagyságú, és BC oldala a nagyságú, adott
szakasz. Ezek szerint az A pont egy olyan körön változik,
amelyben a BC egy húr, és az A csúcs a körön van, 
nagyságú kerületi szög. A szinusz tétel alapján
a = b = c = a
sin sin B sin C 2R . Mivel sin állandó,
ezért az R is állandó. Továbbá b = 2 sin , c = R B 2 sinC ahonnan kapjuk,
R
+
−
B C B C
hogy b c+ = 2 (sin B + sin ) = 4 sin cos =
C
R
R
2 2
−
B C

= 4 cos  c os  4 cos  = állandó
R
R
2
−
−
B C B C
Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha osc = 1 = 0  B = C
2 2
vagyis az ABC háromszög egyenlő szárú.
4. példa: Egy téglalap oldalai 12cm illetve 9cm hosszúak. Bizonyítsuk be,
hogy a téglalapba írható négyszögek kerülete legalább 30cm!
Megoldás: A téglalapba egy tetszőleges
MNPQ négyszöget írunk. Vegyük észre, hogy
ez egyre kisebb méretű, ahogy két oldala a
négyzet egyik átlója felé közeledik. Ezen
közeledéskor (lásd az ábrát) az MNPQ
négyszög két oldala a 0 felé közeledik, másik
kettő pedig a téglalap átlója felé tart. Végső
állapotban megkapjuk a degenerált négyszöget, amelyiknek két oldala az MQ és
NP éppen 0-val egyenlő, az MN és PQ oldalai pedig a téglalap átlójával, ami
éppen 15 cm. Ezek szerint a minimális kerület 2×15=30 cm.
A téglalapba egy tetszőleges MNPQ négyszöget írunk. Vegyük észre, hogy ez
egyre kisebb méretű, ahogy két oldala a négyzet egyik átlója felé közeledik. Ezen
közeledéskor (lásd az ábrát) az MNPQ négyszög két oldala a 0 felé közeledik,
másik kettő pedig a téglalap átlója felé tart. Végső állapotban megkapjuk a
degenerált négyszöget, amelyiknek két oldala az MQ és NP éppen 0-val egyenlő,
az MN és PQ oldalai pedig a téglalap átlójával, ami éppen 15 cm. Ezek szerint a
minimális kerület 2×15=30 cm.

16