Page 18 - vol2

7. példa: Bizonyítsuk be, hogy az egyenlő alapú, és egyenlő területű
háromszögek közül az egyenlő szárúnak a legkisebb a kerülete.
Megoldás: Legyen az A és B pont a két
rögzített pont. Mivel az ABC háromszög
területe állandó, ezért a C csúcs egy olyan e
egyenesen mozog, amelyik párhuzamos az AB
egyenessel. Ha a CA+CB összeg minimális,
=
ACe BCe
akkor a tükrözési elv szerint , ez
pedig csak CA=CB esetben lehet igaz.
8. példa: Legalább mekkora annak a trapéznak a kerülete, amelynek
alapjai 10 cm és 20 cm hosszúak, magassága pedig 12 cm?
Megoldás: A mellékelt ábra jelöléseit és
számadatait használva, a trapéz kerülete
helyett elegendő megkeresni a
DA + CB szakaszösszeg legkisebb értékét.
Ebből a célból csúsztassuk el párhuzamosan
a trapéz DA szárát a CC’ helyzetbe. Ekkor
tehát a BCC’ töröttvonal minimumát kell
megállapítani. vegyük észre, hogy ezúttal is
alkalmazható a tükrözési elv, miszerint a
BC+CC’ összeg akkor lesz minimális, ha CB= CC’. Ekkor kiszámolva Pitagorasz
tétellel a trapéz szárát azt kapjuk, hogy BC=AD= 13 cm. Így hát a trapéz legkisebb
trapézkerület 56 cm×cm.
9. példa: Határozzuk meg az
2
: f R → R , ( ) = x − 8x + 41 + x − 2x + 37 függvény
2
x
f
minimum helyét!
Megoldás: A függvény így is felírható:
( )f x = (x − 4) + 5 + (x − 1) + 6 . Tekintsük a következő pontokat:
2
2
2
2
+
M(x,0); A(4,-5); B(1,-6). Vegyük észre, hogy ( )f x = MA MB , ahol M(x,0) az
Ox tengely egy változó pontja. Tehát ennek az összegnek a minimumát kell
meghatározni. A tükrözési elv szerint ez az összeg akkor minimális, ha MA=MB,
2
2
2
vagyis x − 8x + 41 = x − 2x + 37 ahonnan x = adódik, ami éppen a
3
keresett minimumhely.
10. példa: Mennyi az ( )f x = 2x − 8x + 16 + 2x + 6x + függvény
2
2
9
minimuma, ha x R .

18