Page 188 - vol2

21. Másodrendű mátrixok hatványozása felbontással

Ebben a paragrafusban a mátrixok hatványozásának egy újabb
módszerével ismerkedünk meg. Ez a módszer a Newton binomiális
képleten alapszik, amelyik a következő:
2 n−
1 n−
n
(a b = a + C a b C a 2 2 ... C n n− 2 2 n− 2 + C n n− 1 ab n− 1 + b n
+
n
b +
+
1
+
)
a b
n
n
n
−
k
vagyis (a b+ ) = n  C a n k k
b
n
k= 0
III. A felbontás módszer
A módszer lényege a következő: a hatványozandó A mátrixra egy
=
A xI + 2 yB alakú felbontást választunk azzal a céllal, hogy majd felírjuk
n
k
az A = n ( xI + 2 yB ) hatványt. Ez akkor vezet eredményre, ha a B = O áll
2
elő valamilyen k  * esetén, vagy B = zB minden k  * esetén. Ezután
k
alkalmazva a Newton binomiális képletet, megkapjuk a végeredményt.
Indulásként nézzük a következő feladatot:
 5 4 
n
1. feladat: Ha A =   , akkor számítsuk ki az A hatványt n  *
 − 4 − 3 
esetén!
Megoldás: a többféle felírási lehetőségek közül válasszuk a következőt:
 1 0  4 4   1 1 
A =   +   = I + 4B ahol B =   . Könnyen észrevehető,
2
 0 1   − 4 − 4   − 1 − 1 
n
2

hogy B = O ezért B = O 2 , k  2,k  esetén. Ezért az A = n (I + 2 4B )
k
2
összefüggés alapján, a Newton binomiális képlettel azt kapjuk, hogy
 1 0  5n 4n   5n + 1 4n 
n
1
A = I + C B =   +   =   n  * esetén.
2
n
 0 1   − 4n − 3n   − 4n − 3n + 1 
a  0
n
2. feladat: Ha A =   , akkor számítsuk ki az A hatványt n  *
 3 a 
esetén, ahol a .

188