Page 184 - vol2

4   4  
 cos 6 sin 6 
4
A = 2  4  . Ezért most megfogalmazhatjuk a sejtéseinket,
 − sin 4  cos 4  
  6 6  
k   k  
 cos 6 sin 6 
k
hogy A = 2  k  . Így indukcióval bizonyítani fogjuk, hogy
 − sin k  cos k  
  3 6  
(k + 1)   (k + 1)  
 cos 6 sin 6 
A k+ 1 = 2 k+ 1   is igaz. Valóban, a trigonometriai
 − sin (k + 1)  cos (k + 1)  
  6 6  

alapképletek alapján

     k k 
 cos sin   cos sin 


k
k
A k+ 1 = A A = 2 2   6 6    6 6  =
 − sin  cos    − sin k cos k 

 
 6 6   6 6 

 1 1
n
4. feladat: Ha A =   , akkor számítsuk ki az A hatványt n  *
 − 1 1 
esetén!
 2 2 
 
Megoldás: a mátrixunk így is felírható, hogy A = 2  2 2  .
 2 2 
 −  2 2  
2  
Így a helyettesítés már egyértelmű, hiszen = cos = sin . Ekkor azt
2 4 4
   
 cos sin 
kapjuk, hogy A = 2  4 4  . Most, a trigonometriai alapképletek
 − sin  cos  
  4 4  
segítségével azonnal megkapjuk, hogy

184