Page 186 - vol2

 a b 
 2 2 − 2 2 
A = a + 2 b 2  a + b a + b  .
 b a 
 
 a + 2 b 2 a + 2 b  2

 a  2  b  2   
Mivel  2   +  2   =  1 , ezért létezik olyan t   0,  szög,

 a + 2 b   a + 2 b   2 
a b
amelyre = cost és = sint . Ekkor
2
2
a + b 2 a + b 2
 cost − sint
A = a + 2 b 2   . Most, a trigonometriai alapképletek
 cost sint 
segítségével azonnal megkapjuk, hogy

2 cos2t − sin 2t 3 cos3t − sin3t


2
2
3
2
A = a + b 2   , A = a + b 2   ,
 sin 2t cos2t   sin3t cos3t 

4 cos4t − sin 4t
A = 4 a + 2 b 2   . Ezért most megfogalmazhatjuk a
 sin 4t cos4t 
k  coskt − sin kt
sejtéseinket, hogy A = k a + 2 b 2   . Így indukcióval
 sin kt coskt 

k+ 1 cos(k + 1)t − sin(k + 1)t
bizonyítani fogjuk, hogy A k+ 1 = a + 2 b 2   is igaz.
 sin(k + 1)t cos(k + 1)t 
Valóban, a trigonometriai alapképletek alapján könnyen megkapjuk, hogy
k  cost − sint  coskt − sin kt
2
2
k

A k+ 1 = A A = a + b 2 a + b 2     =
 cost sint   sin kt coskt 

k+ 1 cos(k + 1)t − sin(k + 1)t
= a + 2 b 2  
 sin(k + 1)t cos(k + 1)t 
Ez utóbbi mintájára megfogalmazhatjuk a következő feladatot is:
 a b
n
6. feladat: Ha A =   , akkor számítsuk ki az A hatványt n  *
 − b a 
esetén, ha ,a b !

186