Page 191 - vol2

Megoldás: mivel ennek a megoldása is azonos az előző kérdés
megoldásával, ezért annak az igazolását, hogy
B = O 2 , k  3,k  B = O az érdeklődő Olvasóra bízzuk.
k
2
2
A feltett 3 kérdés és a rájuk adott válaszok alapján tehát beláttuk,
hogy a módszerünk sikeres működésének a feltétele az, hogy az
A xI + 2 yB felbontásban szereplő B mátrix a (*) alatti 6 mátrix
=
valamelyike legyen.

Folytatásként nézzük a következő feladatot:

 5 − 8
4. feladat: Ha A =   , akkor számítsuk ki az A hatványt n  *
n
 1 − 1 
esetén!

 1 0  4 − 8
Megoldás: felírható, hogy A =   +   = I + B továbbá
2
 0 1   1 − 2 
 8 − 16
k

B = 2   = 2B ezért könnyen igazolható, hogy B = 2 k 1 − B , k  * .
 2 − 4 
n
Tehát a Newton binomiális képlet alapján mivel A = n (I + 2 ) B , ezért
n
2 
2 
k
k
=
k
A = I + n C B = I + n C k n 2 k− 1 B I + B  C n k 2 =
n
2
n
k= 1 k= 1 2 k= 1
) )
n
n
+
= I + B ( ( 1 2 − 1 = I + 1 (3 − 1)B .
2
2
2
2
 a + 1 2 
n
5. feladat: Ha A =   , akkor számítsuk ki az A hatványt
 3 a + 6 
 n  * esetén, ahol a .
 1 0  1 2  1 2
Megoldás: felírhatjuk, hogy A a=   +   = aI + B ahol B =  
2
 0 1   3 6   3 6 
2
. Könnyen észrevehető, hogy B = 7B ezért B = 7 k− 1 B , k  2,k  esetén.
k

n
Ezért az A = n (aI + 2 B ) összefüggés alapján, a Newton binomiális képlettel azt
kapjuk, hogy

191