Page 190 - vol2

a  b  a + 2 bc ( b a d  + )
Megoldás: Legyen B =   , akkor B = 2  =  O
2
+
 c d   ( c a d ) bc d   + 2 
=
+
=
+
+
2
ahonnan adódik, hogy a + bc = 0, (a d ) 0, (a d ) 0,bc d = és a
2
b
c
0
középső két egyenletből kiindulva, a lehetséges megoldások a következők:
a
 a a   1 1   − a −   − 1 − 1
B =   = a   , B =   = a   ,
 − a − a   − 1 − 1   a a   1 1 
− a a  −  1 1  a − a  1 −  1  0 a  0 1
B =   = a   , B =   = a   , B =   = a   ,
 − a a   − 1 1   a − a   1 − 1   0 0   0 0 
 0 0  0 0
B =   = a   (*)
 a 0   1 0 
Tehát, ha kedvező felbontásokat akarunk kapni, akkor a B értéke egyike kell
legyen az előző 6 mátrix valamelyikének.
2. kérdés: Melyek azok a B O 2 másodrendű valós elemű mátrixok,
3
amelyekre B = O ?
2
a  b
Megoldás: Ismeretes, hogy bármely B =   mátrix teljesíti az
 c d 
2
−
+
B − (a d )B + (ad bc )I = O úgynevezett Cayley-Hamilton féle
2
2
karakterisztikus egyenletet. Ezt egyszerű számolásokkal könnyen
ellenőrízhetjük. Innen azonnal kapjuk, hogy
3
2
−
+
=
B − (a d )B + (ad bc )B O . Jelen esetben, a B = O feltétel mellett,
3
2
2
=
az a d Tr+ = ( ) t és ad bc− = det B =  jelölésekkel azt kapjuk, hogy
B
2
2
2
2


3
B
t B =  , tehát t B =  B  O =  B . Ha B  0 akkor
2
3
2
2
B = tB  O = B = tB tehát t = 0 és így B = O . Tehát
2
2
2
2
B = O  B = O .
3
2
2
3. kérdés: Melyek azok a B O 2 másodrendű valós elemű mátrixok,
amelyekre B = O 2 , k  3,k  ?
k

190