Page 192 - vol2

n
2 
2 
n
n
k
k
k
A = I + n C B = I + n C n k 7 k− 1 B I + B  C n k 7 = I + B ( ( 1 7 ) )
+
=
−
1 =
2
2
n
k= 1 k= 1 7 k= 1 7
1 *
n
= I + (8 − 1)B , n  esetén.
2
7
Ezzel a feladatot megoldottuk. Vegyük észre, hogy ezúttal a B mátrix
2
2
választásának a kulcsa az volt, hogy B = 2B volt vagyis B = mB alakú
legyen. Ebből kiindulva felmerül a következő kérdés:
4. kérdés: Melyek azok a B másodrendű valós elemű mátrixok,
amelyekre B = mB , ahol m * ?
2
Megoldás: ezúttal is a B − tB +  = O Cayley-Hamilton karakterisztikus
2
I
2
2
egyenletből indulunk ki. Ennek alapján azonnal látható, hogy a keresett
feltétel éppen  = det B = . Ekkor
0
2
B = tB . Tehát ilyen B mátrix választással, az előző megoldott feladat
mintájára járhatunk el.
 3 4
n
6. feladat: Ha A =   , akkor számítsuk ki az A hatványt n  *
 2 5 
esetén!
 1 0  1 2
Megoldás: felírható, hogy A =   + 2   = I + 2B továbbá
2
 0 1   1 2 
 1 1
2
k
B = 2 3   = 3C valamint C = 2C tehát C = 2 k 1 − C , ezért
 1 1 
k
k
k
n
B = 3 C = 2 k 1 −  3 C . Ezért, az A = n (I + 2 2B ) alapján, a Newton binomiális
képlet alapján felírható, hogy:
n
2 
2 
k
n
A = I + n C B = I + n C n k 2 k− 1  3 C I + C  C n k 6 =
k
k

k
=
n
2
k= 1 k= 1 2 k= 1
C ( ( ) ) 1
n
= I + 1 6 − 1 = I + (7 − 1)C . Ezzel a feladatot megoldottuk.
n
+
2
2 2 2
Vegyük észre, hogy ezúttal a B mátrix választásának a kulcsa az volt, hogy

192