Page 189 - vol2

 1 0 0  0   0 0
Megoldás: felírhatjuk, hogy A a=   +   = aI + B ahol B =  
2
 0 1   3 − 0   3 0 
k
2
. Könnyen észrevehető, hogy B = O ezért B = O 2 , k  2,k  esetén.

2
n
Ezért az A = n (aI + 2 B ) összefüggés alapján, a Newton binomiális képlettel azt
 1 0  0 0 a  n 0 
1
n
+
n
kapjuk, hogy A = a I + C B =     =   n  * esetén.
2
n
 0 1   3n 0   3n a   n 
+
 b a − a 
n
3. feladat: Ha A =   , akkor számítsuk ki az A hatványt
−
 a b a 
 n  * esetén, ahol ,a b .
 1 0  1 − 1
=
Megoldás: felírhatjuk, hogy A a   + b   = aI + bB ahol
2
 0 1   1 − 1 
 1 − 1
2
B =   . Könnyen észrevehető, hogy B = O ezért
2
 1 − 1 
n
B = O 2 , k  2,k  esetén. Ezért az A = n (aI + 2 bB ) összefüggés alapján,

k
a Newton binomiális képlettel azt kapjuk, hogy
a  n 0   nb − nb a  n + nb − nb 
1
n
A = a I + bC B =    +  =   n  *
n
2
n
n
n
  0 a    nb − nb    nb a − nb 
esetén.
Bizonyára hamar feltehető a következő kérdés: a különféle
=
A xI + 2 yB felbontások közül melyik célravezető? Az előbbi feladat
alapján, egyik célravezető felbontás az, amikor olyan B mátrixot
kapunk, amelyikre B = O áll elő valamilyen k  * esetén. Az előző
k
2
k

feladatban B = O 2 , k  2,k  esetén. Ebből kiindulva felmerülnek a
következő kérdések:
1. kérdés: Melyek azok a B O 2 másodrendű valós elemű mátrixok,
2
amelyekre B = O ?
2

189