Page 185 - vol2

 2 2   3 3 
2  cos 4 sin 4  3  cos 4 sin 4 
A = 2 2   , A = 3 2   ,
 − sin 2 cos 2   − sin 3 cos 3 
  4 4     4 4  

4   4  
4  cos 4 sin 4 
A = 2   . Ezért most megfogalmazhatjuk a
4
 − sin 4  cos 4  
  4 4  
k   k  
k  cos sin 
k
sejtéseinket, hogy A = 2  4 4  . Így indukcióval
 − sin k  cos k  
  4 4  
(k + cos 1)   sin (k + 1)  

bizonyítani fogjuk, hogy A k+ 1 = 2 k+ 1   4 4   is igaz.
 − sin (k + 1)  cos (k + 1)  
  4 4  
Valóban, a trigonometriai alapképletek alapján könnyen megkapjuk, hogy

   k    k  
k  cos sin   cos sin 
k

A k+ 1 = A A = 2  2   4 4    4 6  =
− sin  cos     − sin k  cos k  
 4 4      4 4  
(k + cos 1)   sin (k + 1)  
k+ 1  4 4 
= 2  
 − sin (k + 1)  cos (k + 1)  
  4 4  

Az előző feladatok alapján könnyen észrevehető, hogy a
megoldott feladatok így általánosíthatók:

 a − b
5. feladat: Ha A =   , akkor számítsuk ki az A hatványt n  *
n
 b a 
esetén, ha ,a b !

Megoldás: a mátrixunk így is felírható, hogy

185