Page 181 - vol2

20. Másodrendű mátrixok hatványozása
trigonometriai módszerrel

Ebben a paragrafusban a mátrixok hatványozásának egy újabb
módszerével ismerkedünk meg. Noha az indukció itt is jelen lehet, a
megoldás lényegét jól megválasztott változócserék képezik.

II. A trigonometriai módszer

Indulásként nézzük a következő feladatot:

 1 3 
 − 
1. feladat: Ha A  = 2 2  , akkor számítsuk ki az A hatványt
n
 3 1 
 
 2 2 
 n  * esetén!

Megoldás: a mátrixban levő értékek láttán könnyen eszünkbe juthatnak
a 30°-os és a 60°-os szögek sinusa és cosinusa, pontosabban
 cos  − sin  

1 = cos , 3 = sin  . Ezért a mátrixunk így írható át: A =   3 3  
2 3 2 3    
  sin 3 cos 3  
Most, a trigonometriai alapképletek segítségével azonnal megkapjuk,
hogy

 2 2   3 3   4 4 
 cos 3 − sin 3   cos 3 − sin 3   cos 3 − sin 3 
A =   , A =   , A =   .
4
3
2
 sin 2 cos 2   sin 3 cos 3   sin 4 cos 4 

  3 3    3 3     3 3 

Ezért most megfogalmazhatjuk a sejtéseinket, hogy
 k  k  
 cos − sin 
A =  k 3 3  . Így indukcióval bizonyítani fogjuk, hogy
 sin k  cos k  
  3 3  

181