Page 182 - vol2

 (k + 1)  (k + 1)  
 cos 3 − sin 3 
A k+ 1 =   is igaz. Valóban, a trigonometriai
 sin (k + 1)  cos (k + 1)  
  3 3  
k

alapképletek alapján A k+ 1 = A A =
     k k   (k + 1)  (k + 1)  
 cos − sin   cos − sin   cos − sin 
=  3 3    3 3  = =  3 3 
 sin  cos    sin k cos k   sin (k + 1)  cos (k + 1)  
  3 3   3 3     3 3  
 
 0 − 1
n
2. feladat: Ha A =   , akkor számítsuk ki az A hatványt n  *
 1 0 
esetén!
 
=
Megoldás: ezúttal vezessük be a következő jelöléseket: 0 cos= ,1 sin
2 2
   
 cos 2 − sin 2 
Ezért a mátrixunk így írható át: A =   .
 sin  cos  
  2 2  

Most, a trigonometriai alapképletek segítségével azonnal megkapjuk,
hogy

 2 2   3 3   4  4  
 cos − sin   cos − sin   cos − sin 
A = 2 2 2  , A =  3  2 2  , . A =  4 2 2 
 sin 2 cos 2   sin 3 cos 3   sin 4  cos 4  
  2 2    2 2     2 2  

Ezért most megfogalmazhatjuk a sejtéseinket, hogy
 k  k  
 cos − sin 
A =  k 2 2  . Így indukcióval bizonyítani fogjuk, hogy
 sin k  cos k  
  2 2  

182