Page 180 - vol2

Megoldás: Sorra kiszámítjuk, és felírjuk, hogy
 2 1  3 2  5 3  8 5
2
A =   , A =   , A =   , A =  
4
5
3
 1 1   2 1   3 2   5 3 
Észrevehetjük, hogy a mátrixok elemei a következő sorozat tagjai:
1,1,2,3,5,8,13,21,... . Ezt a sorozatot a Fibonacci sorozatnak hívják, és
rekurziós összefüggéssel így értelmezik: F = 1 F = 2 1 és

F n + 2 = F n + 1 + F n ,  n  esetén. Így azonnal megfogalmazhatjuk az
 F F 
indukciós feltevést, éspedig: A =  k+ 1 k  . Bizonyítani fogjuk, hogy
k
 F k F k 1 − 
 F F 
A k+ 1 =  k+ 2 k+ 1  . Valóban, felírható, hogy
 F k+ 1 F k 


 1 1  F F   F + F F + F   F F 
k

A k+ 1 = A A =     k+ 1 k  =  k+ 1 k k− 1  =  k+ 2 k+ 1  .
 1 0   F k F k 1 −   F + k F k 1 − F k 1 − + F k− 2  F k+ 1 F k 
Pillanatnyilag meg kell elégednünk ezzel az eredménnyel, de jelezzük, hogy a IV.
részben, a karakterisztikus egyenlet segítségével, a végeredményt zárt
formában, képletekkel is felírjuk majd.

Végezetül, a bemutatottak jobb elmélyítése végett, az érdeklődő
Olvasónak javasoljuk a következő feladatok megoldását:
Gyakorló feladatok I.

A következő A mátrixok esetén számítsuk ki az A hatványt n  *
n
esetén:
 1 3  2 3  1 0  1 0  1 0
(1) A =   (2) A =   (3) A =   (4) A =   (5) A =  
 0 1   0 5   2 1   1 1   0 5 
a  0 a  0 1  2  1  2 
(6) A =   (7) A =   (8) A =   (9) A =   (10)
 b a   0 b   0 − 1   0 − 3 
2
a  0  1 0  cos x sin x 2
A =   ahol , ,a b c . (11) A =   (12) A =  
2
 b c   1 1   sin x cos x  2 

180