Page 13 - vol2

−
−
−
p a ezért írjuk a területet így: T = ( p p a  (p b p c . Most
−
)(
)
)
x + y
alkalmazzuk a xy  egyenlőtlenséget az x = p b és y = p c
−
−
2
p b + p c a
−
−
−
−
)(
)
választással. Ekkor ( p b p c  = = állandó . Tehát
2 2
a
−
T  ( p p a ) = állandó . Egyenlőség akkor áll
2
fenn, ha x=y, vagyis b= c, vagyis a háromszög
egyenlő szárú.
2. Megoldás: Rajzoljunk olyan ellipszist, amelynek a
fókuszpontjai az adott alappal egyenlő távolságra
vannak egymástól, továbbá a nagytengelye a háromszög kerületének és
alapjának a különbsége. Ezen az ellipszisen helyezkedik el a háromszög harmadik
csúcsa, és a legnagyobb magasság nyílván valóan az ellipszis tető- illetve
mélypontjához tartozik, tehát a legnagyobb területű az a háromszög, amely
egyenlő szárú.

11) Bizonyítsuk be, hogy az egyenlő kerületű szabályos sokszögek közül
annak nagyobb a területe, amelyiknek több oldala van!
Megoldás: Legyen O a szabályos sokszög
középpontja, k a kerülete, és rajzoljuk meg az egyik
oldalához tartozó OAB egyenlő szárú háromszöget,
amelynek a magassága legyen m, a középpontnál

levő csúcsszög fele pedig . Így a szabályos sokszög
n
k 
k k 2n k 2 n
területeT =   m = =  .
n
n
2n 2  4 
tg tg
n n
Legyen most a két egyenlő kerületű, de különböző n illetve n oldalszámú
1
2
 
k 2 k 2
2 n
1 n
szabályos sokszög. Ezek területe akkor T = 1 4   illetve T = 2 4   .
tg
n 1 tg n 2
Azt kell megmutatnunk, hogy ha például n  n , akkorT  T . Mindenek előtt
2
1
1
2

13