Page 163 - vol2

−
1 cos x cos2x 1 cos x cos2x + cos x − cos x
−
L = lim = lim =
x → 0 x 2 x → 0 x 2
−
−
−
−
−
x
x
(1 cos ) cos (1 cos2 ) 1 cos x 1 cos 2x
x
lim = lim − limcos x =
x→ 0 x 2 x → 0 x 2 x → 0 x 2
x
2sin 2 2sin x 1 3
2
= lim 2 − lim = − 2 = −
x → 0 x 2 x → 0 x 2 2 2
21. feladat:
Vezessük le a tört deriválási szabályát, vagyis a következő képletet:
 f  ' f ' ( ) ( ) − f ( ) ( )
'
x
x
g
x
x
g
x
  ( ) = 0 0 2 0 0
0
x
 g  g ( )
0
Megoldás: Nagyon nagy szükségünk van egy jó tevére ☺ ! Rendre
felírható, hogy:
f ( ) − f ( )
x
x
0
 f  ' g ( ) g ( ) f ( ) ( ) − f ( ) ( )
x
x
x
x
g
x
x
g
x
  ( ) = lim 0 = lim 0 0 =
−
−
0
x
x
g
g
 g  x → 0 x x x 0 x → 0 x (x x 0 ) ( ) ( )
0
x
g
g
x
x
x
g
g
x
x
x
x
1 f ( ) ( ) − f ( ) ( ) + f ( ) ( ) − f ( ) ( )
= lim 0 0 0 0 0 0 =
−
x→ x 0 ( ) ( )g x g x x x
0 0
−
x
1 f  ( ) − x f ( ) g ( ) g ( ) 
x
x
= lim  0 g ( ) − 0 f ( ) = .
x
x
0 
−
−
x→ x 0 ( ) ( )g x g x 0  x x 0 0 x x 0 
'
g
g
x
x
f ' ( ) ( ) − f ( ) ( )
x
x
= 0 0 0 0 .
x
g 2 ( )
0
22. feladat:
2
Számítsuk ki a következő integrált: I =  3x − 2 dx
4x +
1
2
Megoldás: Felírhatjuk, hogy:
2
2
2
2
x
1
3x
I =  3x − 2 dx =  4x + 1 dx −  4x + 1 dx = 3  4x + 1 dx − 2  4x + 1 dx .
2
2
4x +
2
2
2
1
Legyen I = 3I − 1 2I Most az első integrálban egy jól választott tevére
2
2
2
1 1
x
1 

van szükség ☺ ! I = 4x + 1 dx = 1  4x 2 1 dx = 1 4x + 4x + − 1 dx =
2
2
2
4 4x +
4
1 4x + 1 1 1 1 1 1 x 1
2
=  dx −  dx =  dx −  dx = − I .
2
4 4x + 1 4 4x + 1 4 4 4x + 1 4 4 2
2
2
163