Page 162 - vol2

Számítsuk ki a következő határértéket: L = lim n ( 3 − n 2) .
n
n→
Megoldás: Most nagyon jól felhasználható az, hogy a teve jön is, meg
megy is ☺ ! Rendre felírható, hogy:
=
L = limn ( 3 − n 2) limn ( 3 − n 2 1 1) limn  + − = ( 3 1) ( 2 1)  n − − n − =
n
n
n→ n→ n→  
3
−
=
= lim n ( 3 1) lim n ( 2 1) = ln3 ln 2 ln
−
−
−
n
n
n→ n→ 2
18. feladat:
 n 3 + n 2  n
Számítsuk ki a következő határértéket: L = lim   .
n→ 
 2 
Megoldás: Teve nélkül nem is indíthatjuk el a feladatmegoldás ☺ ! A
feladatot az e-számra kell visszavezetni:
 n 3 + n 2  n  n 3 + n 2 2  n
−
L = lim 1+ − 1 = lim 1+  =


n→ 2  n→  2 



n 3 + n 2 2
−
  n n 2 2  n 3 + 2 n 2 2  n 2 n 3 + n 2 2 1 lim ( 3 1)+ 1 lim ( 2 1)
n
n
−
−
n
−
n
−
lim n
lim 1  n→   + 3 + −      = e n→ 2 = e 2 n→ 2 n→
   2   
1 ln3+ 1 ln2 1 ln 3
= e 2 2 = e 2 2 = e ln 3.2 = 6 .
Megjegyzés: Majdnem minden e-számmal megoldható feladatnál
alkalmaznunk kell a teveszabályt, ugyanis mindig egy 1-essel kell
kezdődjön a képlet, ezért kell hozzáadni majd kivonni 1-et.
19. feladat:

sin x
A l’Hospital szabály nélkül számítsuk ki: L = lim
x→ 1 x − 1
Megoldás: Itt is egy tevére lesz szükség ☺ ! Figyelembe véve, hogy
+
sin(x  = − sin x felírható, hogy:
)

+
−


sin x sin( x   ) sin( (x − 1))
L = lim = lim = − lim = −  .
x→ 1 x − 1 x→ 1 x − 1 x→ 1 x − 1
20. feladat:
−
1 cos x cos2x
Számítsuk ki a következő határértéket: L = lim .
x→ 0 x 2
Megoldás: Megint jól átgondolt tevére lesz szükség ☺ ! Rendre
felírhatjuk, hogy:
162