Page 167 - vol2
P. 167
Ellenben most egy olyan természetes elvárásra próbálunk választ adni, amely az
E kifejezés alsó korlátainak megállapítására irányul.
n
4. feladat: Mutassuk meg, hogy bármely n 1 természetes szám ese-
tén igaz a következő egyenlőtlenség:
1 1 3 5 ... (2n − 3) (2n − 1)
4n + 1 < 2 4 6 ... (2n − 2) (2 )
n
5. feladat: Mutassuk meg, hogy bármely n 1 természetes szám ese-
tén igaz a következő egyenlőtlenség:
1 1 3 5 ... (2n − 3) (2n − 1)
n
4n 2 4 6 ... (2n − 2) (2 )
Ezúttal is könnyen belátható, hogy az utóbbi egyenlőtlenség az élesebb (szigo-
1 1
rúbb), hiszen nyilvánvalóan igaz, hogy: < . Az 2. feladat
4n + 1 4n
„érdekességéből” tanulva azonnal fel is merül a kérdés, hogy melyik feladat
bizonyítható a M.i.- val ? Ezúttal nincs semmi meglepetés, mindkettő igazolható
a M.i.-val. Az 5. feladat igazolása végett, a M.i. alapján elegendő ellenőrizni,
1 1 2n + 1
2
hogy 4 (n n + 1) (2n + 1) 0 1 ami
4n + 4 4n 2n + 2
igaz állítás.
Az idők folyamán a matematikusok rájöttek, hogy a M.i.-val nem lehet
lényegesen áttörő eredményt bizonyítani, így más, szebbnél szebb bizonyítási
módszerek kerültek elő.
6. feladat: Mutassuk meg, hogy bármely n 1 természetes szám ese-
tén igaz a következő egyenlőtlenséglánc:
1 1 3 5 ... (2n − 3) (2n − 1) 1
n
2 n 2 4 6 ... (2n − 2) (2 ) 2n
Hamar rájöhetünk arra, hogy a baloldali egyenlőtlenséget az 5. feladatban M.i.-
val bizonyítottuk, a jobboldali egyenlőtlenség a 2. feladat, amit az 1. feladat és a
tranzitivítással ugyancsak M.i.-val bizonyítottunk. Ezúttal a M.i. módszerétől
különböző módszerrel bizonyítunk!
+
a a k
Könnyen belátható, hogy ha 0< a< b és k>0 akkor < is igaz. Ennek az
+
b b k
ismételt alkalmazásával (k=1 értékre) kapjuk, hogy
167
