Page 158 - vol2

+
1)
(a n− 1 + a n− 2 + a n− 3 + ... a + ) 1 (a − Most egy egész tevekaravánra lesz
+
szükségünk ☺ ! Felírhatók a következők: a n− 1 + a n− 2 + a n− 3 + ... a + =
1
+
+
+
+
+
= (a n− 1 − 1) (a n− 2 − 1) (a n− 3 − 1) ... (a− 1) (1 1) n 1=
+
−
+
+
+
=
+
+
+
= M (a − 1) M (a − 1) M (a − 1) ... M (a − 1) n M (a − 1) n , tehát
+
(a n− 1 + a n− 2 + a n− 3 + ... a + ) 1 (a − 1)  (a − 1) .
n
4. feladat:
Határozzuk meg azokat a p, q pozitív egész számokat amelyekre az
q
a = 4 + p 6 osztható 10-el.
Megoldás: a= páros, ezért máris osztható 2-vel. Továbbá az
−
x − y = M (x y összefüggésben az x= a+b és y= b választással
n
n
)
(a b = Ma b minden ,a b N esetén. Ekkor
+
+
n
n
)
+
+
+
−
6 = (6 1 1) = (5 1) = M 5 1, és hasonlóan felírható, hogy
p
p
p
+
−
+
=
4 = (4 1 1) = (5 1) = M 5 ( 1) , tehát a M 5 ( 1) + 1 és ez
−
−
+
−
p
p
p
p
p
csakis akkor többszöröse 5-nek, ha p páros szám, q pedig tetszőleges
pozitív egész szám.
5. feladat:
Igazoljuk, hogy az E = 2222 5555 + 5555 2222 szám osztható 7-tel.
Megoldás: Ezúttal egy teve nem is lesz elég ☺ ! Nézzük a következőket:
E = 2222 5555 + 5555 2222 = 2222 5555 + 4 5555 − 4 5555 + 5555 2222 + 4 2222 − 4 2222 =
−
=
+
−
+
= (2222 5555 + 4 5555 ) (5555 2222 − 4 2222 ) (4 5555 − 4 2222 ) a b c. Látható,
=
hogy a = 2222 5555 + 4 5555 = M (222 4) M 2226 M 7, továbbá
+
=
b = 5555 2222 − 4 2222 = M (5555 4) M 5551 M , valamint
=
−
=
7
=
=
c = 4 5555 − 4 2222 = 4 2222 (4 3333 − 1) 4 2222 (64 1111 − 1) M (64 1) M , tehát
−
=
7
−
A = a b c = M 7.
+
6. feladat:
Igazoljuk, hogy az 10101 szám minden számrendszerben osztható
111-el!
Megoldás: Mivel 10101x = x + x + 1 és 111x = x + + 1, ezért azt
2
2
4
x
kellene igazolni, hogy x + x + 1 x + + 1. Nos, most van szükség a
4
x
2
2
+
tevére ☺ ! Felírhatjuk, hogy: x + x + 1 x + x + 1 x − x =
=
2
2
2
4
2
4
= (x + 2x + 1) x = (x + 1) − x = (x + + 1)(x − +
−
2
2
2
2
2
2
4
2
x
x
1)
7. Feladat:
4
Miért nem lehet az n + 64 szám prímszám, egyetlen n N esetén sem?
158