Page 159 - vol2

Megoldás: Máris hozzuk a tevét ☺ ! Felírható, hogy:
n + 16 n + 64 16n − 16n = (n + 8) − (4 ) = (n + 4n+ 8)(n − 4n+ 8)
=
+
2
2
2
2
2
2
4
4
2
n
és az egyik szorzótényező sem egyenlő 1-gyel.
8. feladat:
 4n 
Írjuk fel a következő halmazt: A =  x N x = ,n N .

 n + 2 
Megoldás: Újból szükségünk van a tevére ☺ ! Felírható, hogy:
−
4n 4n + 8 8 8
x = = = 4 −  N , ha n + 2  1, 2, 4, 8     ahonnan
n + 2 n + 2 n + 2


a természetes számok: n 0,2,6 , tehát A = 0,3,4 .
9. feladat:
n


Számítsuk ki az S = 1 1! 2 2! ... n n =  k ! k  összeget, ha n N .
+
+

+
!
k= 1
Megoldás: Megint szükségünk van az 1 tevére ☺ !
−
=
−
=
−
=
Mivel k k ! (k + 1 1) ! (k + 1) ! k ! (k + 1)! k !, ezért
k
k
+
−
=
−
−
S = (2! 1!) (3! 2!) ... ((n+ 1)! n !) (n+ 1)! 1
+
−
+
Megjegyzés: Teljesen hasonlóan számolható ki a következő összeg is:
n
S =  k .
k= 1 (k + 1)!

10. feladat:
Igazoljuk, hogy minden x, y valós számra igaz, hogy x − y  x y .
−
Megoldás: Bizonyítani kell tehát, hogy − x y  x − y  x y , vagyis
−
−
−
−
x  x y + y (1) és y  x + x y (2). És máris hozzuk a tevéket ☺!
A háromszög egyenlőtlensége alapján felírható, hogy:
−
+
−
x = (x + ) y − y  x y + y , illetve y = (y x ) x  x + x y , ezzel
−
az (1) és a (2) bizonyított.
11. feladat:
Legyen az ( )a n n  1 ,( )  1 két olyan valós számokból álló sorozat,
b
n n

*
amelyre a n + 1 − a  b n + 1 − b n n N esetén. Igazoljuk, hogy akkor
n
*
minden ,n k  N esetén igaz, hogy a n k − a  b n k − b n .
n
+
+
Megoldás: Hát ezúttal egy egész tevekaravánt kell hoznunk ☺ !
Ugyancsak a háromszög egyenlőtlensége alapján felírható, hogy:
159