Page 165 - vol2
P. 165
18. Variációk egy egyenlőtlenség kapcsán
Mint a régebbi, mint az újabb alternatív tankönyvekben valamint szá-
mos feladatgyűjteményben, a matematikai indukció tanítása fejezetben megta-
lálható a következő feladat:
1. feladat: Mutassuk meg, hogy bármely n 1 természetes szám
esetén igaz a következő egyenlőtlenség:
1 3 5 ... (2n − 3) (2n − 1) 1
2 4 6 ... (2n − 2) (2 ) < 2n + 1
n
A feladat egymagában nem rejteget semmilyen nehézséget, matematikai induk-
1 1
cióval (röviden M.i.) könnyen megoldható, hiszen n= 1 esetben nyil-
2 3
vánvalóan igaz, és a M.i. szerint elegendő ha belátjuk, hogy
1 2n + 1 1 (2n + 1)(2n + 3) (2n + 2
2n + 2n + 2 2n + 3 2) 3 4
1
ami igaz állítás. A feladatra ellenben létezik egy nagyon egyszerű és ötletes
direkt bizonyítás is: 4k − 2 1 4k (2k − 1)(2k + 1) (2 ) és össze-
2
2
k
szorozva ezeket az egyenlőtlenségeket k 1,2,...,n értékekre összeszoroz-
va éppen a kért egyenlőtlenség négyzete adódik.
Mindezek mellett az egyenlőtlenség bal oldalán álló kifejezés még sok
számos egyenlőtlenségben megtalálható, és mint látni fogjuk, a fenti egyenlőt-
lenség jóval mélyebb gyökerekkel rendelkezik mint ahogyan az első látásra
gondolnánk. A továbbiakban éppen ezekre a kapcsolatokra fogunk rávilágítani,
és eljutunk az egyenlőtlenség természetes „környezetéhez” is, ahonnan szárma-
zik. A kifejezések könnyebb kezelhetősége kedvéért vezessük be a következő
jelöléseket: 1 3 5 ... (2n − 3) (2n − 1) = (2n − 1)!! és
2 4 6 ... (2n − 2) (2 )= (2 )!!n ahol a „dupla felkiáltójelt” ezúttal
n
(2n − 1)!!
„faktor-faktor” szóval olvassuk ki. Legyen továbbá: E = .
n
n
(2 )!!
Az előbbi feladat kapcsán még a következő feladattal is találkozunk:
165
