Page 168 - vol2
P. 168
1 3 5 ... 2n − 1 < 2 4 6 ... 2n
2 4 6 2n 3 5 7 2n + 1 ahonnan kapjuk, hogy
1 1 1 1
2
E < < vagyis E < (persze az E < is bizo-
n
2n + 1 2n n 2n n 2n + 1
nyított).
1 3 5 2n − 1 1 2 4 2n − 2
Teljesen hasonlóan ... > ... ahonnan
2 4 6 2n 2 3 5 2n − 1
1 1
2
hasonlóan kapjuk, hogy E > vagyis E > (itt már nem „gyengí-
n n
4n 4n
tettük” az egyenlőtlenséget).
7. feladat: Mutassuk meg, hogy bármely n 1 természetes szám ese-
tén igaz a következő egyenlőtlenséglánc:
2 1 1 3 5 ... (2n − 3) (2n − 1) 3 1
2 2n 2 4 6 ... (2n − 2) (2 ) 2 2n
n
Ezúttal is belátható, hogy a külalaki rendezéstől eltekintve a baloldali
egyenlőtlenség ugyancsak a M.i.-val bizonyított 5. feladat egyenlőtlensége,
ellenben a jobboldali egyenlőtlenség az eddigieknél másabb jellegű. Az A. O.
2
Gelfond orosz matematikus bizonyítása roppant ötletes és egyszerű: E =
n
1 2 3 2 5 2 ... (2n − 1) 2 = 1 3 2 5 2 ... (2n − 1) 2 1
n
n
2 2 4 2 6 2 (2 ) 2 2 2 4 4 6 (2n − 2) (2 ) 2n .
(2k − 1) 2 (2k − 1) 2
De minden k> 1 egész szám esetén = >1 ezért
(2k − 2) (2 ) (2k − 1) − 2 1
k
1 1 2 1
2
E > ahonnan az E > adódik. Másfelől, a
n
2 2n n 2 2n
(2k − 1) (2k + 1) (2 ) − 1
2
k
k
k
(2 ) 2 = (2 ) 2 < 1 egyenlőtlenség alapján,
3 3 5 5 7 (2n − 1) (2n − 3) 2n − 1 3 1
2
E = ... < ahonnan
n
2
n
2 2 4 2 6 2 (2n − 2) 2 (2 ) 4 2n
az
168
