Page 161 - vol2

+
1 x 1
= k − =
+
+
+
+
+
+
(1 x 1 )(1 x 2 )...(1 x k ) (1 x 1 )(1 x 2 )...(1 x k )
1 1
= − = a − a . Ezért
+
+
+
+
+
+
(1 x 1 )(1 x 2 )...(1 x k− 1 ) (1 x 1 )(1 x 2 )...(1 x k ) k− 1 k
1 n 1
−
=
S = 1− +  (a − a ) 1 a = 1−  1.
+
+
+
+
1 x 1 k= 2 k− 1 k n (1 x 1 )(1 x 2 )...(1 x n )
15. feladat:
Az ( )x n n 1 valós számokból álló számsorozat teljesíti a következő
rekurziós összefüggést: x n+ 1 = 2x + n 1 és x = 1   0. Keressük meg az
általános tagot megadó képletet.
Megoldás: Megint szükségünk van a tevére ☺ ! Végezzük el a következő
műveleteket:
−
+
−
1
x n+ 1 = 2x +  x n+ 1 = 2(x + 1 1) 1  x n+ 1 = 2(x + 1) 1  x n+ 1 + 1 = 2(x + 1)
n
n
n
n
=
*
. Vezessük be most az x + k 1 y jelölést minden k  N esetén. Ekkor
k
y
=
x + 1 2(x + 1)  y = 2y ahonnan k+ 1 = 2 , ezért
+
+
n
n
1
1
n
n
y k
n − 1 y n − 1 y
 k+ 1 =  2  n = 2 n− 1  y = y 1 2  n− 1  x + 1 (x + 1) 2 n− 1 ,

=
1
n
n
k= 1 y k k= 1 y 1
ahonnan x = ( + 1) 2 n− 1 − 1 minden n N esetén.
*

n
Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a teveszabállyal az

*
,
x n+ 1 = ax + b ; a,b R a  1 általánosabb alakú elsőrendű lineáris
n
rekurzió általános képlete is meghatározható, ha úgy keressük az  valós
b
számot, hogy x n+ 1 +  ( a x +  = ) legyen, ahonnan  = a − 1 .
n
16. feladat:
(
)
2
Számítsuk ki a következő határértéket: L = limsin  n + 2 n .
n→
Megoldás: A feladat alig ha oldható meg teveszabály nélkül, és a teve
választás sem könnyű ! Mivel sin(x + ) = − sin x , ezért felírható, hogy:
)
)
(
(
2
L = limsin  n + n n + n = limsin  ( n + − ) n =
2
2
−
2
n
n→ n→
 n  2   
= limsin   = limsin   = 1.
2

n→  n + 2 n n  + n→  2 
17. feladat:
161